Номер 618, страница 117 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$p_0 = 1,0 \cdot 10^5$ Па

$p_3 = 0,80$ кПа

$k = 3$ (количество ходов поршня)

$T = const$

$p_3 = 0,80 \text{ кПа} = 0,80 \cdot 10^3 \text{ Па} = 800 \text{ Па}$

Найти:

$n$

Решение:

Обозначим вместимость (объем) сосуда как $V_0$, а вместимость (объем) цилиндра насоса как $V_c$. Искомая величина $n$ представляет собой отношение $V_c / V_0$. Процесс откачивания воздуха происходит при постоянной температуре ($T = const$), следовательно, для описания состояния газа можно использовать закон Бойля-Мариотта: $pV = const$.

Рассмотрим процесс откачки по шагам.

После первого хода поршня:
Когда поршень насоса соединяется с сосудом, воздух, первоначально занимавший объем $V_0$ под давлением $p_0$, расширяется и занимает общий объем $V_0 + V_c$. Новое давление $p_1$ можно найти из закона Бойля-Мариотта:
$p_0 V_0 = p_1 (V_0 + V_c)$
Отсюда давление в сосуде после первого цикла откачки:
$p_1 = p_0 \frac{V_0}{V_0 + V_c}$

После второго хода поршня:
Процесс повторяется, но теперь начальным давлением в сосуде является $p_1$. Воздух снова расширяется из объема $V_0$ в объем $V_0 + V_c$. Давление после второго хода $p_2$ будет:
$p_2 = p_1 \frac{V_0}{V_0 + V_c} = \left(p_0 \frac{V_0}{V_0 + V_c}\right) \frac{V_0}{V_0 + V_c} = p_0 \left(\frac{V_0}{V_0 + V_c}\right)^2$

После третьего хода поршня:
Аналогично, давление в сосуде после третьего хода поршня станет равным $p_3$:
$p_3 = p_2 \frac{V_0}{V_0 + V_c} = p_0 \left(\frac{V_0}{V_0 + V_c}\right)^3$

Теперь необходимо выразить из этого уравнения искомую величину $n = V_c / V_0$.
Сначала разделим обе части уравнения на $p_0$:
$\frac{p_3}{p_0} = \left(\frac{V_0}{V_0 + V_c}\right)^3$
Разделим числитель и знаменатель дроби в скобках на $V_0$:
$\frac{p_3}{p_0} = \left(\frac{1}{1 + V_c/V_0}\right)^3 = \left(\frac{1}{1 + n}\right)^3$

Выразим $n$ из полученного соотношения:
$\sqrt[3]{\frac{p_3}{p_0}} = \frac{1}{1 + n}$
Отсюда:
$1 + n = \sqrt[3]{\frac{p_0}{p_3}}$
$n = \sqrt[3]{\frac{p_0}{p_3}} - 1$

Подставим числовые значения:
$n = \sqrt[3]{\frac{1,0 \cdot 10^5 \text{ Па}}{800 \text{ Па}}} - 1 = \sqrt[3]{\frac{100000}{800}} - 1 = \sqrt[3]{125} - 1$
$n = 5 - 1 = 4$

Ответ: Вместимость цилиндра насоса больше вместимости сосуда в 4 раза.