Номер 611, страница 116 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Длина столбика ртути, $h = 75,0$ мм

Длина воздушного столбика (трубка вертикально, запаянным концом вниз), $l_1 = 120$ мм

Длина воздушного столбика (трубка горизонтально), $l_2 = 132$ мм

$h = 75,0 \cdot 10^{-3} \text{ м} = 0,075 \text{ м}$
$l_1 = 120 \cdot 10^{-3} \text{ м} = 0,120 \text{ м}$
$l_2 = 132 \cdot 10^{-3} \text{ м} = 0,132 \text{ м}$

Найти:

Атмосферное давление $p_a$

Длину воздушного столбика (трубка вертикально, запаянным концом вверх), $l_3$

Решение:

Процесс изменения объема воздуха в трубке можно считать изотермическим, так как температура воздуха не меняется. Следовательно, для столбика воздуха выполняется закон Бойля — Мариотта: $pV = \text{const}$. Поскольку трубка имеет постоянное поперечное сечение $S$, объем воздушного столбика $V$ пропорционален его длине $l$ ($V = Sl$). Таким образом, закон Бойля — Мариотта можно записать в виде $pl = \text{const}$.

Рассмотрим три положения трубки и выразим давление воздуха в каждом случае. Давление столбика ртути $p_h$ удобно выражать в миллиметрах ртутного столба (мм рт. ст.), тогда оно численно равно высоте столбика ртути $h$: $p_h = 75,0 \text{ мм рт. ст.}$

1. Трубка расположена вертикально, запаянным концом вниз.
Давление воздуха в трубке $p_1$ уравновешивает сумму атмосферного давления $p_a$ и давления столбика ртути $p_h$.
$p_1 = p_a + p_h$.

2. Трубка расположена горизонтально.
Давление воздуха в трубке $p_2$ равно атмосферному давлению $p_a$, так как столбик ртути не оказывает давления вдоль оси трубки.
$p_2 = p_a$.

3. Трубка расположена вертикально, запаянным концом вверх.
Давление воздуха в трубке $p_3$ и давление столбика ртути $p_h$ вместе уравновешивают атмосферное давление $p_a$.
$p_3 = p_a - p_h$.

Определите атмосферное давление $p_a$.

Применим закон Бойля — Мариотта для первого и второго состояний: $p_1 l_1 = p_2 l_2$ Подставим выражения для давлений: $(p_a + p_h) l_1 = p_a l_2$

Раскроем скобки и выразим $p_a$: $p_a l_1 + p_h l_1 = p_a l_2$ $p_h l_1 = p_a l_2 - p_a l_1$ $p_h l_1 = p_a (l_2 - l_1)$ $p_a = \frac{p_h l_1}{l_2 - l_1}$

Подставим числовые значения, используя для давлений мм рт. ст., а для длин — мм: $p_a = \frac{75,0 \text{ мм рт. ст.} \cdot 120 \text{ мм}}{132 \text{ мм} - 120 \text{ мм}} = \frac{9000}{12} \text{ мм рт. ст.} = 750 \text{ мм рт. ст.}$

Переведем атмосферное давление в систему СИ (Паскали), используя плотность ртути $\rho_{Hg} \approx 13600 \, \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$ и ускорение свободного падения $g \approx 9,8 \, \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$. $p_a = \rho_{Hg} g h_{p_a} = 13600 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot 9,8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot (750 \cdot 10^{-3} \text{ м}) \approx 99960 \text{ Па} \approx 1,0 \cdot 10^5 \text{ Па}$.
Ответ: $p_a = 750 \text{ мм рт. ст.} \approx 1,0 \cdot 10^5 \text{ Па}$.

Вычислите длину $l_3$ воздушного столбика, когда трубка расположена закрытым концом вверх.

Применим закон Бойля — Мариотта для второго и третьего состояний: $p_2 l_2 = p_3 l_3$ Подставим выражения для давлений: $p_a l_2 = (p_a - p_h) l_3$

Выразим отсюда искомую длину $l_3$: $l_3 = \frac{p_a l_2}{p_a - p_h}$

Подставим числовые значения (давления в мм рт. ст., длину в мм): $l_3 = \frac{750 \text{ мм рт. ст.} \cdot 132 \text{ мм}}{750 \text{ мм рт. ст.} - 75,0 \text{ мм рт. ст.}} = \frac{99000}{675} \text{ мм} \approx 146,7 \text{ мм}$

С учетом точности исходных данных, округляем результат до трех значащих цифр.
Ответ: $l_3 \approx 147 \text{ мм}$.