Номер 609, страница 116 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Модуль скорости молекул в пучке: $v$
Концентрация молекул в пучке: $n$
Масса одной молекулы: $m_0$
Модуль скорости стенки (в случае б): $u$

Найти:

Давление на стенку $P$ в двух случаях.

Решение:

Давление $P$ по определению равно отношению силы $F$, действующей перпендикулярно поверхности, к площади этой поверхности $S$: $P = \frac{F}{S}$. Силу можно найти из второго закона Ньютона в импульсной форме: $F = \frac{\Delta p}{\Delta t}$, где $\Delta p$ — суммарный импульс, переданный стенке за время $\Delta t$.

а) стенка расположена перпендикулярно скорости пучка и неподвижна

Рассмотрим площадку $S$ на поверхности стенки. За промежуток времени $\Delta t$ с этой площадкой столкнутся все молекулы, которые находятся в объеме цилиндра с основанием $S$ и высотой $l = v \Delta t$.
Объем этого цилиндра $V = S \cdot l = S v \Delta t$.
Число молекул $N$ в этом объеме равно произведению концентрации на объем: $N = n V = n S v \Delta t$.
Поскольку стенка "зеркальная", столкновение молекул с ней является абсолютно упругим. При перпендикулярном падении скорость молекулы после отражения меняет направление на противоположное, сохраняя свой модуль. Выберем ось ОХ перпендикулярно стенке и направим ее в сторону стенки.
Импульс одной молекулы до столкновения: $p_1 = m_0 v$.
Импульс одной молекулы после столкновения: $p_2 = -m_0 v$.
Изменение импульса одной молекулы: $\Delta p_{молекулы} = p_2 - p_1 = -m_0 v - m_0 v = -2m_0 v$.
Согласно закону сохранения импульса, импульс, переданный стенке одной молекулой, равен по модулю и противоположен по знаку изменению импульса молекулы: $\Delta p_{стенке, 1} = -\Delta p_{молекулы} = 2m_0 v$.
Суммарный импульс, переданный стенке за время $\Delta t$ всеми $N$ молекулами, равен: $\Delta p = N \cdot \Delta p_{стенке, 1} = (n S v \Delta t) \cdot (2m_0 v) = 2 n m_0 v^2 S \Delta t$.
Сила, действующая на стенку: $F = \frac{\Delta p}{\Delta t} = \frac{2 n m_0 v^2 S \Delta t}{\Delta t} = 2 n m_0 v^2 S$.
Тогда давление на стенку: $P = \frac{F}{S} = \frac{2 n m_0 v^2 S}{S} = 2 n m_0 v^2$.

Ответ: $P = 2 n m_0 v^2$.

б) стенка движется навстречу молекулам со скоростью $\vec{u}$

В этом случае молекулы и стенка сближаются со скоростью $v_{отн} = v + u$.
За время $\Delta t$ со стенкой столкнутся молекулы из объема цилиндра с основанием $S$ и высотой $l' = v_{отн} \Delta t = (v+u) \Delta t$.
Число столкнувшихся молекул за время $\Delta t$ будет: $N' = n \cdot V' = n \cdot S \cdot l' = n S (v+u) \Delta t$.
Теперь найдем изменение импульса одной молекулы в лабораторной системе отсчета. Пусть ось ОХ направлена от пучка к стенке. Тогда начальная скорость молекулы $v_1 = v$, а скорость стенки $v_2 = -u$.
При абсолютно упругом столкновении частицы с очень массивной движущейся стенкой скорость частицы после столкновения можно найти по формуле $v_1' = -v_1 + 2v_2$.
Подставим наши значения: $v_1' = -v + 2(-u) = -(v + 2u)$.
Изменение импульса одной молекулы: $\Delta p'_{молекулы} = m_0 v_1' - m_0 v_1 = m_0(-v - 2u) - m_0 v = -2m_0(v+u)$.
Импульс, переданный стенке одной молекулой: $\Delta p'_{стенке, 1} = -\Delta p'_{молекулы} = 2m_0(v+u)$.
Суммарный импульс, переданный стенке за время $\Delta t$: $\Delta p' = N' \cdot \Delta p'_{стенке, 1} = (n S (v+u) \Delta t) \cdot (2m_0(v+u)) = 2 n m_0 (v+u)^2 S \Delta t$.
Сила, действующая на стенку: $F' = \frac{\Delta p'}{\Delta t} = \frac{2 n m_0 (v+u)^2 S \Delta t}{\Delta t} = 2 n m_0 (v+u)^2 S$.
Давление на стенку: $P' = \frac{F'}{S} = \frac{2 n m_0 (v+u)^2 S}{S} = 2 n m_0 (v+u)^2$.

Ответ: $P = 2 n m_0 (v+u)^2$.