Номер 610, страница 116 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$m = 0,60$ кг

$S = 20 \text{ см}^2$

$p_a = 0,10 \text{ МПа}$

$V_2 = V_1 / 3$

$T = \text{const}$ (изотермический процесс)

Перевод в систему СИ:

$S = 20 \text{ см}^2 = 20 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2 = 2 \cdot 10^{-3} \text{ м}^2$

$p_a = 0,10 \text{ МПа} = 0,10 \cdot 10^6 \text{ Па} = 10^5 \text{ Па}$

Примем ускорение свободного падения $g \approx 10 \text{ м/с}^2$.

Найти:

$F$

Решение:

Рассмотрим начальное состояние газа (до приложения силы $F$). Поршень находится в равновесии под действием силы тяжести ($mg$), силы атмосферного давления ($F_a = p_a S$) и силы давления газа ($F_{газа,1} = p_1 S$). Сила тяжести и сила атмосферного давления направлены вниз, а сила давления газа — вверх. Запишем условие равновесия для поршня:

$p_1 S = p_a S + mg$

Отсюда начальное давление газа в цилиндре равно:

$p_1 = p_a + \frac{mg}{S}$

Теперь рассмотрим конечное состояние, когда к поршню приложена внешняя сила $F$, направленная вниз. Поршень снова находится в равновесии. Условие равновесия для поршня в конечном состоянии:

$p_2 S = p_a S + mg + F$

где $p_2$ — конечное давление газа.

Процесс сжатия газа является изотермическим, поэтому к нему применим закон Бойля-Мариотта:

$p_1 V_1 = p_2 V_2$

По условию задачи, объем газа уменьшается втрое, то есть $V_2 = \frac{V_1}{3}$. Подставим это соотношение в закон Бойля-Мариотта:

$p_1 V_1 = p_2 \cdot \frac{V_1}{3}$

Сократив $V_1$, получим связь между конечным и начальным давлением:

$p_2 = 3 p_1$

Подставим это соотношение в уравнение равновесия для конечного состояния:

$3 p_1 S = p_a S + mg + F$

Из уравнения для начального состояния мы знаем, что $p_1 S = p_a S + mg$. Подставим это в предыдущее уравнение:

$3(p_a S + mg) = p_a S + mg + F$

Выразим отсюда искомую силу $F$:

$F = 3(p_a S + mg) - (p_a S + mg)$

$F = 2(p_a S + mg)$

Произведем вычисления:

$F = 2 \cdot (10^5 \text{ Па} \cdot 2 \cdot 10^{-3} \text{ м}^2 + 0,60 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с}^2)$

$F = 2 \cdot (200 \text{ Н} + 6 \text{ Н})$

$F = 2 \cdot 206 \text{ Н}$

$F = 412 \text{ Н}$

Ответ: 412 Н.