Номер 612, страница 116 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$l = 90 \text{ см}$

$h = 30 \text{ см}$

$p_a = 1,0 \cdot 10^5 \text{ Па}$

Перевод в систему СИ:

$l = 0,9 \text{ м}$

$h = 0,3 \text{ м}$

Найти:

$h_1$

Решение:

Рассмотрим два состояния воздуха в трубке: начальное (трубка открытым концом вверх) и конечное (трубка открытым концом вниз). Процесс переворачивания трубки будем считать изотермическим, так как он происходит достаточно медленно ("осторожно"), и температура воздуха не успевает измениться. Следовательно, для воздуха в трубке выполняется закон Бойля-Мариотта:

$p_1 V_1 = p_2 V_2$

где $p_1$ и $V_1$ – давление и объем воздуха в начальном состоянии, а $p_2$ и $V_2$ – в конечном.

1. Начальное состояние (трубка открытым концом вверх).

Объем воздуха $V_1$ пропорционален длине столбика воздуха $l_1$. Длина трубки $l$, а высота столбика ртути $h$. Значит, длина столбика воздуха:

$l_1 = l - h = 90 \text{ см} - 30 \text{ см} = 60 \text{ см}$

Давление воздуха $p_1$ уравновешивает атмосферное давление $p_a$ и давление столбика ртути высотой $h$.

$p_1 = p_a + \rho g h$

где $\rho$ – плотность ртути, $g$ – ускорение свободного падения.

2. Конечное состояние (трубка открытым концом вниз).

После переворачивания в трубке остался столбик ртути высотой $h_1$. Длина столбика воздуха стала:

$l_2 = l - h_1$

Давление воздуха $p_2$ вместе с давлением столбика ртути $h_1$ уравновешивает атмосферное давление $p_a$.

$p_2 + \rho g h_1 = p_a \implies p_2 = p_a - \rho g h_1$

Подставим выражения для давлений и объемов (пропорциональных длинам $l_1$ и $l_2$) в закон Бойля-Мариотта. Площадь поперечного сечения трубки $S$ сократится.

$(p_a + \rho g h) \cdot S(l - h) = (p_a - \rho g h_1) \cdot S(l - h_1)$

$(p_a + \rho g h)(l - h) = (p_a - \rho g h_1)(l - h_1)$

Для удобства вычислений выразим все давления в сантиметрах ртутного столба. Сначала найдем, какой высоте ртутного столба соответствует атмосферное давление $p_a$.

$h_a = \frac{p_a}{\rho g} = \frac{1,0 \cdot 10^5 \text{ Па}}{13600 \text{ кг/м}^3 \cdot 9,8 \text{ м/с}^2} \approx 0,75 \text{ м} = 75 \text{ см рт. ст.}$

Теперь уравнение можно записать в более простом виде, используя высоты в сантиметрах:

$(h_a + h)(l - h) = (h_a - h_1)(l - h_1)$

Подставим известные значения:

$(75 + 30)(90 - 30) = (75 - h_1)(90 - h_1)$

$105 \cdot 60 = (75 - h_1)(90 - h_1)$

$6300 = 6750 - 75h_1 - 90h_1 + h_1^2$

Получаем квадратное уравнение относительно $h_1$:

$h_1^2 - 165h_1 + 450 = 0$

Решим это уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-165)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 450 = 27225 - 1800 = 25425$

Найдем корни уравнения:

$h_1 = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{165 \pm \sqrt{25425}}{2} \approx \frac{165 \pm 159,45}{2}$

Получаем два возможных решения:

$h_{1,1} = \frac{165 + 159,45}{2} = \frac{324,45}{2} \approx 162,2 \text{ см}$

$h_{1,2} = \frac{165 - 159,45}{2} = \frac{5,55}{2} \approx 2,78 \text{ см}$

Первый корень $h_{1,1} \approx 162,2 \text{ см}$ не имеет физического смысла, так как высота столбика ртути не может быть больше длины трубки ($l = 90 \text{ см}$).

Следовательно, физически возможным решением является второй корень.

Ответ: $h_1 \approx 2,8 \text{ см}$.