Номер 619, страница 117 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$l = 1,0$ м

$h = 20$ см

$\Delta l = 10$ см

$T = const$

Перевод в систему СИ:

$h = 0,20$ м

$\Delta l = 0,10$ м

Найти:

$p_1$ - ?

Решение:

Когда трубка расположена горизонтально, столбик ртути находится посередине. Это означает, что давление остаточного газа $p_1$ в обеих частях трубки одинаково. Длина каждой воздушной полости в этом состоянии равна:$l_1 = \frac{l - h}{2} = \frac{1,0 \, \text{м} - 0,20 \, \text{м}}{2} = 0,40 \, \text{м}$Объем каждой воздушной полости равен $V_1 = S \cdot l_1$, где $S$ — площадь поперечного сечения трубки.

Когда трубку ставят вертикально, столбик ртути смещается вниз на расстояние $\Delta l$ под действием собственной силы тяжести. В новом положении равновесия давление газа в верхней части трубки ($p_2$) становится меньше, а в нижней части ($p_3$) — больше.Длина верхней воздушной полости становится $l_2 = l_1 + \Delta l$.Длина нижней воздушной полости становится $l_3 = l_1 - \Delta l$.

Условие равновесия столбика ртути в вертикальном положении заключается в том, что давление в нижней части трубки $p_3$ уравновешивает давление в верхней части $p_2$ и гидростатическое давление самого столбика ртути $p_{рт}$:$p_3 = p_2 + p_{рт}$где $p_{рт} = \rho g h$ ($\rho$ — плотность ртути, $g$ — ускорение свободного падения).

Поскольку температура по условию задачи постоянна, процесс изменения состояния газа в обеих частях трубки является изотермическим. Следовательно, мы можем применить закон Бойля-Мариотта $pV = const$.

Для верхней части трубки (газ расширяется):$p_1 V_1 = p_2 V_2 \implies p_1 S l_1 = p_2 S (l_1 + \Delta l)$Отсюда давление в верхней части: $p_2 = p_1 \frac{l_1}{l_1 + \Delta l}$

Для нижней части трубки (газ сжимается):$p_1 V_1 = p_3 V_3 \implies p_1 S l_1 = p_3 S (l_1 - \Delta l)$Отсюда давление в нижней части: $p_3 = p_1 \frac{l_1}{l_1 - \Delta l}$

Теперь подставим полученные выражения для $p_2$ и $p_3$ в уравнение равновесия:$p_1 \frac{l_1}{l_1 - \Delta l} = p_1 \frac{l_1}{l_1 + \Delta l} + \rho g h$

Перенесем члены с $p_1$ в одну сторону и выразим искомое давление:$p_1 \left( \frac{l_1}{l_1 - \Delta l} - \frac{l_1}{l_1 + \Delta l} \right) = \rho g h$$p_1 l_1 \left( \frac{(l_1 + \Delta l) - (l_1 - \Delta l)}{(l_1 - \Delta l)(l_1 + \Delta l)} \right) = \rho g h$$p_1 l_1 \left( \frac{2 \Delta l}{l_1^2 - \Delta l^2} \right) = \rho g h$$p_1 = \frac{\rho g h (l_1^2 - \Delta l^2)}{2 l_1 \Delta l}$

Плотность ртути $\rho \approx 13600 \, \text{кг/м}^3$, ускорение свободного падения $g \approx 9,8 \, \text{м/с}^2$.Подставим числовые значения в выведенную формулу:$l_1 = 0,40 \, \text{м}$$l_1^2 - \Delta l^2 = (0,40 \, \text{м})^2 - (0,10 \, \text{м})^2 = 0,16 \, \text{м}^2 - 0,01 \, \text{м}^2 = 0,15 \, \text{м}^2$$2 l_1 \Delta l = 2 \cdot 0,40 \, \text{м} \cdot 0,10 \, \text{м} = 0,08 \, \text{м}^2$$p_1 = \frac{13600 \, \text{кг/м}^3 \cdot 9,8 \, \text{м/с}^2 \cdot 0,20 \, \text{м} \cdot (0,15 \, \text{м}^2)}{0,08 \, \text{м}^2}$$p_1 = \frac{26656 \, \text{Па} \cdot 0,15}{0,08} = 26656 \cdot 1,875 \, \text{Па} = 49980 \, \text{Па}$

Округляя результат с учетом точности исходных данных, получаем:$p_1 \approx 5,0 \cdot 10^4 \, \text{Па} = 50 \, \text{кПа}$

Ответ: первоначальное давление, до которого была откачана трубка, составляет $p_1 \approx 50$ кПа.