Номер 621, страница 117 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$p_1 = 0.20 \text{ МПа}$

$V_1 = 36 \text{ см}^3$

$p_2 = 60 \text{ кПа}$

$V_2 = 60 \text{ см}^3$

$p_3 = 50 \text{ кПа}$

$V_3 = 99 \text{ см}^3$

$T = \text{const}$

$p_1 = 0.20 \text{ МПа} = 0.20 \cdot 10^6 \text{ Па} = 200000 \text{ Па}$

$V_1 = 36 \text{ см}^3 = 36 \cdot 10^{-6} \text{ м}^3$

$p_2 = 60 \text{ кПа} = 60 \cdot 10^3 \text{ Па} = 60000 \text{ Па}$

$V_2 = 60 \text{ см}^3 = 60 \cdot 10^{-6} \text{ м}^3$

$p_3 = 50 \text{ кПа} = 50 \cdot 10^3 \text{ Па} = 50000 \text{ Па}$

$V_3 = 99 \text{ см}^3 = 99 \cdot 10^{-6} \text{ м}^3$

Найти:

$p, V'_1, V'_2, V'_3$

Решение:

Поскольку температура газа в каждой секции не изменяется, процесс расширения или сжатия газа в каждой секции является изотермическим. Следовательно, для каждой секции можно применить закон Бойля-Мариотта: $pV = \text{const}$.

После освобождения поршней они будут перемещаться до тех пор, пока давление во всех трех секциях не станет одинаковым. Обозначим это конечное давление как $p$. Объемы секций примут значения $V'_1, V'_2, V'_3$.

Запишем закон Бойля-Мариотта для каждой секции:

$p_1 V_1 = p V'_1$

$p_2 V_2 = p V'_2$

$p_3 V_3 = p V'_3$

Из этих уравнений можно выразить конечные объемы через конечное давление $p$:

$V'_1 = \frac{p_1 V_1}{p}$

$V'_2 = \frac{p_2 V_2}{p}$

$V'_3 = \frac{p_3 V_3}{p}$

Цилиндр закрыт с обоих концов, поэтому его общий объем остается неизменным. Сумма объемов секций до и после освобождения поршней одинакова:

$V_{общ} = V_1 + V_2 + V_3 = V'_1 + V'_2 + V'_3$

Подставим выражения для конечных объемов в уравнение сохранения объема:

$V_1 + V_2 + V_3 = \frac{p_1 V_1}{p} + \frac{p_2 V_2}{p} + \frac{p_3 V_3}{p}$

Вынесем $1/p$ за скобки в правой части:

$V_1 + V_2 + V_3 = \frac{1}{p} (p_1 V_1 + p_2 V_2 + p_3 V_3)$

Отсюда выразим конечное давление $p$:

$p = \frac{p_1 V_1 + p_2 V_2 + p_3 V_3}{V_1 + V_2 + V_3}$

Для удобства вычислений переведем все давления в килопаскали (кПа):

$p_1 = 0.20 \text{ МПа} = 200 \text{ кПа}$

Подставим числовые значения в формулу для давления:

$p = \frac{200 \text{ кПа} \cdot 36 \text{ см}^3 + 60 \text{ кПа} \cdot 60 \text{ см}^3 + 50 \text{ кПа} \cdot 99 \text{ см}^3}{36 \text{ см}^3 + 60 \text{ см}^3 + 99 \text{ см}^3} = \frac{7200 + 3600 + 4950}{195} \frac{\text{кПа} \cdot \text{см}^3}{\text{см}^3} = \frac{15750}{195} \text{ кПа} \approx 80.77 \text{ кПа}$

Теперь найдем конечные объемы каждой секции, используя найденное давление (для точности используем его значение в виде дроби $p = 15750/195 \text{ кПа}$):

$V'_1 = \frac{p_1 V_1}{p} = \frac{7200 \text{ кПа} \cdot \text{см}^3}{15750/195 \text{ кПа}} = \frac{7200 \cdot 195}{15750} \text{ см}^3 \approx 89.14 \text{ см}^3$

$V'_2 = \frac{p_2 V_2}{p} = \frac{3600 \text{ кПа} \cdot \text{см}^3}{15750/195 \text{ кПа}} = \frac{3600 \cdot 195}{15750} \text{ см}^3 \approx 44.57 \text{ см}^3$

$V'_3 = \frac{p_3 V_3}{p} = \frac{4950 \text{ кПа} \cdot \text{см}^3}{15750/195 \text{ кПа}} = \frac{4950 \cdot 195}{15750} \text{ см}^3 \approx 61.29 \text{ см}^3$

Округлим результаты до трех значащих цифр:

$p \approx 80.8 \text{ кПа}$

$V'_1 \approx 89.1 \text{ см}^3$

$V'_2 \approx 44.6 \text{ см}^3$

$V'_3 \approx 61.3 \text{ см}^3$

Проверка: $V'_1 + V'_2 + V'_3 \approx 89.1 + 44.6 + 61.3 = 195.0 \text{ см}^3$. Общий объем сохранился.

Ответ: конечное давление во всех секциях $p \approx 80.8 \text{ кПа}$, конечные объемы секций $V'_1 \approx 89.1 \text{ см}^3$, $V'_2 \approx 44.6 \text{ см}^3$, $V'_3 \approx 61.3 \text{ см}^3$.