Номер 620, страница 117 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:
Высота сосуда: $h$
Отношение начальных давлений: $n$
Процесс изотермический: $T = const$

Найти:
Расстояние, на которое передвинется поршень: $\Delta l$

Решение:
Пусть $S$ – площадь поперечного сечения цилиндрического сосуда. В начальном состоянии, когда поршень застопорен, он делит сосуд на две равные части. Объем каждой части равен:
$V_1 = V_2 = S \cdot \frac{h}{2}$

Пусть давление газа в одной части сосуда равно $p_a$, а в другой $p_b$. По условию, давление в одной из них в $n$ раз больше, чем в другой. Для определённости, пусть $p_a = n \cdot p_b$, где $n > 1$.

После того как стопор снимут, поршень начнёт двигаться из области с большим давлением ($p_a$) в область с меньшим давлением ($p_b$). Движение прекратится, когда давления в обеих частях сосуда станут равными. Обозначим это конечное давление как $p'$.

Поскольку поршень легкий и скользит без трения, он переместится на некоторое расстояние $\Delta l$. В результате объем части с изначально большим давлением увеличится, а объем другой части уменьшится. Новые объемы будут равны:
$V'_a = S \cdot (\frac{h}{2} + \Delta l)$
$V'_b = S \cdot (\frac{h}{2} - \Delta l)$

Так как температура газа не изменяется, процесс является изотермическим. Для изотермического процесса справедлив закон Бойля-Мариотта: $pV = const$. Запишем этот закон для газа в каждой из двух частей сосуда:

Для первой части (с начальным давлением $p_a$):
$p_a V_1 = p' V'_a$
$n p_b \cdot S \frac{h}{2} = p' \cdot S (\frac{h}{2} + \Delta l) \quad (1)$

Для второй части (с начальным давлением $p_b$):
$p_b V_2 = p' V'_b$
$p_b \cdot S \frac{h}{2} = p' \cdot S (\frac{h}{2} - \Delta l) \quad (2)$

Мы получили систему из двух уравнений. Разделим уравнение (1) на уравнение (2), чтобы исключить неизвестные $p_b$, $p'$ и $S$:

$\frac{n p_b \cdot S \frac{h}{2}}{p_b \cdot S \frac{h}{2}} = \frac{p' \cdot S (\frac{h}{2} + \Delta l)}{p' \cdot S (\frac{h}{2} - \Delta l)}$

После сокращения получаем:
$n = \frac{\frac{h}{2} + \Delta l}{\frac{h}{2} - \Delta l}$

Теперь решим это уравнение относительно $\Delta l$:
$n (\frac{h}{2} - \Delta l) = \frac{h}{2} + \Delta l$
$n \frac{h}{2} - n \Delta l = \frac{h}{2} + \Delta l$
$n \frac{h}{2} - \frac{h}{2} = n \Delta l + \Delta l$
$\frac{h}{2} (n - 1) = \Delta l (n + 1)$

Отсюда находим искомое расстояние $\Delta l$:

$\Delta l = \frac{h}{2} \frac{n - 1}{n + 1}$

Ответ: $\Delta l = \frac{h}{2} \frac{n - 1}{n + 1}$.