Номер 613, страница 116 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$l = 1,0$ м

$p_a = 0,10$ МПа

Перевод в систему СИ:

$p_a = 0,10 \text{ МПа} = 0,10 \cdot 10^6 \text{ Па} = 10^5 \text{ Па}$

Справочные данные:

Плотность ртути: $\rho = 13600 \text{ кг/м}^3$

Ускорение свободного падения: $g \approx 9,8 \text{ м/с}^2$

Найти:

$h$

Решение:

Рассмотрим два состояния воздуха в трубке. Будем считать процесс изотермическим, так как он происходит достаточно медленно и температура воздуха не меняется. Следовательно, к воздуху в трубке применим закон Бойля-Мариотта: $p_1V_1 = p_2V_2$.

1. Начальное состояние (трубка наполовину погружена в ртуть, открытый конец над ртутью):

Воздух занимает верхнюю половину трубки. Его давление равно атмосферному давлению.

Давление воздуха: $p_1 = p_a$

Длина столба воздуха: $l_1 = l/2$

Объем воздуха: $V_1 = S \cdot l_1 = S \cdot \frac{l}{2}$, где $S$ - площадь поперечного сечения трубки.

2. Конечное состояние (трубку закрыли и вынули из ртути):

В трубке остался столб ртути высотой $h$. Над ним находится запертый воздух.

Длина столба воздуха: $l_2 = l - h$

Объем воздуха: $V_2 = S \cdot l_2 = S \cdot (l - h)$

Давление воздуха $p_2$ можно найти из условия равновесия столбика ртути. Сверху на него давит запертый воздух ($p_2$), снизу – атмосферный воздух ($p_a$). Также на столбик ртути действует сила тяжести, создающая гидростатическое давление $p_{Hg} = \rho g h$. Условие равновесия: $p_2 + \rho g h = p_a$.

Отсюда давление воздуха в конечном состоянии: $p_2 = p_a - \rho g h$.

Подставим все выражения в закон Бойля-Мариотта:

$p_a \cdot S \frac{l}{2} = (p_a - \rho g h) \cdot S (l-h)$

Сократим площадь $S$:

$p_a \frac{l}{2} = (p_a - \rho g h)(l-h)$

Для удобства вычислений выразим атмосферное давление через высоту столба ртути $H_a$, который оно могло бы уравновесить: $p_a = \rho g H_a$.

$H_a = \frac{p_a}{\rho g} = \frac{10^5 \text{ Па}}{13600 \text{ кг/м}^3 \cdot 9,8 \text{ м/с}^2} \approx 0,75 \text{ м}$

Подставим $p_a = \rho g H_a$ в наше уравнение:

$(\rho g H_a) \frac{l}{2} = (\rho g H_a - \rho g h)(l-h)$

Сократим $\rho g$:

$H_a \frac{l}{2} = (H_a - h)(l-h)$

Раскроем скобки и приведем к стандартному виду квадратного уравнения относительно $h$:

$H_a \frac{l}{2} = H_a l - H_a h - l h + h^2$

$h^2 - (H_a + l)h + H_a l - H_a \frac{l}{2} = 0$

$h^2 - (H_a + l)h + \frac{H_a l}{2} = 0$

Подставим числовые значения ($H_a = 0,75$ м, $l=1,0$ м):

$h^2 - (0,75 + 1,0)h + \frac{0,75 \cdot 1,0}{2} = 0$

$h^2 - 1,75h + 0,375 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-1,75)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 0,375 = 3,0625 - 1,5 = 1,5625$

Найдем корни уравнения:

$h = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1,75 \pm \sqrt{1,5625}}{2} = \frac{1,75 \pm 1,25}{2}$

$h_1 = \frac{1,75 + 1,25}{2} = \frac{3,0}{2} = 1,5 \text{ м}$

$h_2 = \frac{1,75 - 1,25}{2} = \frac{0,5}{2} = 0,25 \text{ м}$

Первый корень $h_1 = 1,5$ м не имеет физического смысла, так как высота столбика ртути не может превышать длину трубки $l=1,0$ м. Следовательно, решением задачи является второй корень.

Ответ: $h = 0,25 \text{ м}$.