Номер 617, страница 117 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Вместимость футбольного мяча: $V = 4,0 \text{ л} = 4,0 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3$

Избыточное давление воздуха в мяче: $p = 0,15 \text{ МПа} = 0,15 \cdot 10^6 \text{ Па} = 1,5 \cdot 10^5 \text{ Па}$

Объем воздуха, засасываемый насосом за один ход: $V_0 = 0,20 \text{ дм}^3 = 0,20 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3$

Нормальное атмосферное давление: $p_{атм} \approx 1,0 \cdot 10^5 \text{ Па}$

Температура воздуха не изменяется: $T = \text{const}$

Найти:

Число ходов поршня $n$.

Решение:

Процесс накачивания мяча происходит при постоянной температуре, поэтому мы можем применить закон Бойля-Мариотта для изотермического процесса. Этот закон гласит, что для данной массы газа при постоянной температуре произведение давления на объем есть величина постоянная: $p_1V_1 = p_2V_2$.

Определим начальные и конечные параметры состояния воздуха, который закачивается в мяч.

За $n$ ходов поршня насос забирает из атмосферы воздух общим объемом $V_{1}$, который равен произведению числа ходов на объем одного хода:

$V_1 = n \cdot V_0$

Этот объем воздуха находится при атмосферном давлении $p_1 = p_{атм}$.

После накачивания весь этот воздух сжимается до объема мяча $V_2 = V$. Давление $p$, указанное в условии, является избыточным, то есть показывает, на сколько давление в мяче превышает атмосферное. Абсолютное давление воздуха в мяче $p_2$ будет равно сумме атмосферного и избыточного давлений:

$p_2 = p_{атм} + p$

Теперь запишем уравнение закона Бойля-Мариотта для всего объема закачанного воздуха:

$p_1 V_1 = p_2 V_2$

Подставим в это уравнение выражения для давлений и объемов:

$p_{атм} \cdot (n \cdot V_0) = (p_{атм} + p) \cdot V$

Из этого соотношения выразим искомое число ходов поршня $n$:

$n = \frac{(p_{атм} + p) \cdot V}{p_{атм} \cdot V_0}$

Подставим числовые значения в полученную формулу:

$n = \frac{(1,0 \cdot 10^5 \text{ Па} + 1,5 \cdot 10^5 \text{ Па}) \cdot 4,0 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3}{1,0 \cdot 10^5 \text{ Па} \cdot 0,20 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3} = \frac{2,5 \cdot 10^5 \text{ Па} \cdot 4,0 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3}{1,0 \cdot 10^5 \text{ Па} \cdot 0,20 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3}$

Сократим степени $10^5$ и $10^{-3}$ в числителе и знаменателе:

$n = \frac{2,5 \cdot 4,0}{1,0 \cdot 0,20} = \frac{10}{0,20} = 50$

Таким образом, для накачивания мяча потребуется сделать 50 ходов поршнем насоса.

Ответ: $n = 50$.