Номер 604, страница 115 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$V = 10 \text{ л}$
$t = 27^\circ\text{C}$
$\Delta p = 4.2 \text{ кПа}$
$T = \text{const}$

Перевод в систему СИ:

$V = 10 \text{ л} = 10 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3 = 10^{-2} \text{ м}^3$
$T = 27 + 273 = 300 \text{ К}$
$\Delta p = 4.2 \text{ кПа} = 4.2 \cdot 10^3 \text{ Па}$

Найти:

$\Delta N$

Решение:

Воспользуемся основным уравнением молекулярно-кинетической теории для давления идеального газа:

$p = nkT$

где $p$ – давление газа, $n$ – концентрация молекул, $k$ – постоянная Больцмана ($k \approx 1.38 \cdot 10^{-23} \text{ Дж/К}$), $T$ – абсолютная температура.

Концентрация молекул определяется как отношение числа молекул $N$ к объему $V$, который они занимают: $n = \frac{N}{V}$.

Подставив это выражение в формулу для давления, получим:

$p = \frac{N}{V}kT$

Запишем это уравнение для начального и конечного состояний газа. Пусть $N_1$ – начальное число молекул, а $p_1$ – начальное давление. $N_2$ – конечное число молекул, а $p_2$ – конечное давление. Объем $V$ и температура $T$ по условию задачи остаются неизменными.

$p_1 = \frac{N_1}{V}kT$

$p_2 = \frac{N_2}{V}kT$

Изменение давления $\Delta p$ вследствие утечки газа равно разности начального и конечного давлений:

$\Delta p = p_1 - p_2 = \frac{N_1}{V}kT - \frac{N_2}{V}kT = \frac{(N_1 - N_2)}{V}kT$

Разность $(N_1 - N_2)$ представляет собой число молекул $\Delta N$, которые вышли из баллона. Таким образом:

$\Delta p = \frac{\Delta N}{V}kT$

Выразим из этой формулы искомое число молекул $\Delta N$:

$\Delta N = \frac{\Delta p V}{kT}$

Подставим числовые значения в систему СИ:

$\Delta N = \frac{4.2 \cdot 10^3 \text{ Па} \cdot 10^{-2} \text{ м}^3}{1.38 \cdot 10^{-23} \text{ Дж/К} \cdot 300 \text{ К}} = \frac{42}{414 \cdot 10^{-23}} = \frac{42}{4.14 \cdot 10^{-21}} \approx 1.0145 \cdot 10^{22}$

Округлим результат до двух значащих цифр, так как данные в условии имеют такую же точность.

$\Delta N \approx 1.0 \cdot 10^{22}$

Ответ: из баллона вышло примерно $1.0 \cdot 10^{22}$ молекул.