Номер 669, страница 124 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Для построения графиков циклического процесса в координатах (V, T) и (p, V) необходимо проанализировать каждый этап цикла, представленного на исходном графике в координатах (p, T), используя уравнение состояния идеального газа.

Дано:

График замкнутого циклического процесса 1-2-3-4-1 для идеального газа в координатах давление-температура (p, T).

Найти:

Изобразить данный циклический процесс в координатах объем-температура (V, T) и давление-объем (p, V).

Решение:

Проанализируем каждый из четырех процессов цикла, используя уравнение состояния идеального газа $pV = \nu RT$.

1. Процесс 1-2: График представляет собой прямую линию, проходящую через начало координат. Это означает, что давление прямо пропорционально температуре: $p \sim T$, или $p/T = \text{const}$. Из уравнения состояния $p/T = \nu R/V$. Поскольку количество газа $\nu$ и газовая постоянная $R$ не меняются, это означает, что объем $V$ также постоянен. Таким образом, процесс 1-2 является изохорным нагреванием ($V = \text{const}$). Давление и температура увеличиваются. $V_2 = V_1$.

2. Процесс 2-3: График является вертикальной линией, что соответствует постоянной температуре ($T = \text{const}$). Это изотермический процесс. По графику видно, что давление уменьшается ($p_3 < p_2$). Согласно закону Бойля-Мариотта ($pV = \text{const}$), при уменьшении давления объем газа должен увеличиваться. Следовательно, это изотермическое расширение. $T_3 = T_2$, $V_3 > V_2$.

3. Процесс 3-4: График представляет собой прямую линию, не проходящую через начало координат, с положительным наклоном. Уравнение этой прямой имеет вид $p = aT + b$, где $a > 0$ и $b > 0$ (так как продолжение прямой пересекает ось $p$ выше нуля). В ходе этого процесса и температура, и давление уменьшаются ($T_4 < T_3$, $p_4 < p_3$). Выразим объем из уравнения состояния: $V = \nu R (T/p)$. Отношение $p/T = a + b/T$. Поскольку в процессе 3-4 температура $T$ уменьшается, величина $b/T$ увеличивается, а значит, и всё отношение $p/T$ увеличивается. Так как $V = \nu R / (p/T)$, увеличение отношения $p/T$ приводит к уменьшению объема $V$. Таким образом, процесс 3-4 — это сжатие с охлаждением. $V_4 < V_3$.

4. Процесс 4-1: График — горизонтальная линия, что означает постоянство давления ($p = \text{const}$). Это изобарный процесс. Температура уменьшается ($T_1 < T_4$). Согласно закону Гей-Люссака ($V/T = \text{const}$), при уменьшении температуры объем также уменьшается. Следовательно, это изобарное сжатие. $p_1 = p_4$, $V_1 < V_4$.

Итог анализа соотношений параметров в узловых точках цикла:
Давления: $p_2 > p_3 > p_1 = p_4$.
Температуры: $T_2 = T_3 > T_4 > T_1$.
Объемы: $V_3 > V_4 > V_1 = V_2$.

Изображение в координатах (V, T)

Построим график, откладывая объем V по оси ординат, а температуру T по оси абсцисс.

- Участок 1-2 (изохорное нагревание): $V = \text{const}$, температура растет от $T_1$ до $T_2$. График — горизонтальный отрезок, идущий вправо из точки 1 $(T_1, V_1)$ в точку 2 $(T_2, V_1)$.
- Участок 2-3 (изотермическое расширение): $T = \text{const}$, объем растет от $V_2$ до $V_3$. График — вертикальный отрезок, идущий вверх из точки 2 $(T_2, V_2=V_1)$ в точку 3 $(T_2, V_3)$.
- Участок 3-4 (сжатие с охлаждением): и температура, и объем уменьшаются. График — кривая, идущая из точки 3 $(T_2, V_3)$ влево и вниз в точку 4 $(T_4, V_4)$. Эта кривая ($V = \nu R T / (aT+b)$) является вогнутой (выпуклой вверх).
- Участок 4-1 (изобарное сжатие): $p = \text{const}$, значит $V/T = \text{const}$. График — прямая линия, проходящая через начало координат. Она соединяет точку 4 $(T_4, V_4)$ с точкой 1 $(T_1, V_1)$, направляясь к началу координат.

Ответ: График в координатах (V, T) представляет собой замкнутый цикл, состоящий из горизонтального отрезка 1-2, вертикального отрезка 2-3, вогнутой кривой 3-4 и отрезка прямой 4-1, проходящего через начало координат. Цикл проходится по часовой стрелке.

Изображение в координатах (p, V)

Построим график, откладывая давление p по оси ординат, а объем V по оси абсцисс.

- Участок 1-2 (изохорное нагревание): $V = \text{const}$, давление растет от $p_1$ до $p_2$. График — вертикальный отрезок, идущий вверх из точки 1 $(V_1, p_1)$ в точку 2 $(V_1, p_2)$.
- Участок 2-3 (изотермическое расширение): $T = \text{const}$. График — участок гиперболы (изотерма), идущий из точки 2 $(V_2=V_1, p_2)$ в точку 3 $(V_3, p_3)$. Движение происходит вправо и вниз.
- Участок 3-4 (сжатие с охлаждением): и давление, и объем уменьшаются. График — кривая, идущая из точки 3 $(V_3, p_3)$ влево и вниз в точку 4 $(V_4, p_4=p_1)$. Эта кривая пересекает изотермы, двигаясь в сторону более низких температур.
- Участок 4-1 (изобарное сжатие): $p = \text{const}$, объем уменьшается от $V_4$ до $V_1$. График — горизонтальный отрезок, идущий влево из точки 4 $(V_4, p_1)$ в точку 1 $(V_1, p_1)$.

Ответ: График в координатах (p, V) представляет собой замкнутый цикл, состоящий из вертикального отрезка 1-2, участка изотермы 2-3, кривой 3-4 и горизонтального отрезка 4-1. Цикл проходится по часовой стрелке.