Номер 666, страница 124 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Идеальный газ.

Количество вещества постоянно: $\nu = \text{const}$.

а) Процесс изотермический: $T = \text{const}$.

б) Рассматриваются изотермический ($T = \text{const}$), изобарный ($p = \text{const}$) и изохорный ($V = \text{const}$) процессы.

Найти:

а) Построить график зависимости плотности от давления $ρ(p)$ при $T = \text{const}$.

б) Построить графики зависимости плотности от температуры $ρ(T)$ для изотермического, изобарного и изохорного процессов.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся уравнением состояния идеального газа (уравнением Менделеева-Клапейрона) и определением плотности.

Уравнение Менделеева-Клапейрона: $pV = \nu RT$, где $p$ – давление, $V$ – объем, $\nu$ – количество вещества, $R$ – универсальная газовая постоянная, $T$ – абсолютная температура.

Плотность газа определяется как $ρ = \frac{m}{V}$, где $m$ – масса газа.

Массу газа можно выразить через количество вещества $\nu$ и молярную массу $M$: $m = \nu M$.

Из определения плотности выразим объем: $V = \frac{m}{ρ} = \frac{\nu M}{ρ}$.

Подставим выражение для объема в уравнение состояния идеального газа:

$p \left( \frac{\nu M}{ρ} \right) = \nu RT$

Сократим на $\nu$ (поскольку количество вещества постоянно и не равно нулю):

$\frac{pM}{ρ} = RT$

Отсюда выразим плотность $ρ$:

$ρ = \frac{pM}{RT}$

Это основное соотношение, которое мы будем использовать для анализа зависимостей.

а) Зависимость плотности от давления при $T = \text{const}$

Рассмотрим зависимость $ρ(p)$ при постоянной температуре ($T = \text{const}$). В уравнении $ρ = \frac{pM}{RT}$ величины $M$ (молярная масса), $R$ (универсальная газовая постоянная) и $T$ являются постоянными. Сгруппируем их в один коэффициент:

$ρ = \left( \frac{M}{RT} \right) p$

Так как выражение в скобках $\left( \frac{M}{RT} \right)$ является постоянной положительной величиной, зависимость плотности от давления является прямой пропорциональностью вида $y=kx$, где $y = ρ$, $x = p$, а коэффициент пропорциональности $k = \frac{M}{RT} > 0$.

Графиком такой зависимости является прямая линия, проходящая через начало координат (0,0) с положительным наклоном. По оси абсцисс откладывается давление $p$, а по оси ординат – плотность $ρ$.

Ответ: График зависимости плотности идеального газа от давления при постоянной температуре представляет собой прямую линию, выходящую из начала координат.

б) Зависимость плотности от температуры при изотермическом, изобарном и изохорном процессах

Рассмотрим зависимость плотности от температуры $ρ(T)$ для трех изопроцессов, используя выведенное ранее соотношение $ρ = \frac{pM}{RT}$.

При изотермическом процессе ($T = \text{const}$)

По определению, в изотермическом процессе температура газа не изменяется. Следовательно, на графике в координатах $ρ-T$ (плотность-температура) этот процесс будет изображаться вертикальной линией при $T = T_0 = \text{const}$. Плотность при этом может изменяться (обратно пропорционально объему), но температура остается неизменной.

При изобарном процессе ($p = \text{const}$)

В данном случае давление $p$, а также $M$ и $R$, являются постоянными величинами. Зависимость плотности от температуры имеет вид:

$ρ = \frac{\text{const}}{T}$

Это обратная пропорциональность. Графиком такой зависимости в первом квадранте является гипербола. С ростом температуры $T$ плотность газа $ρ$ асимптотически уменьшается, стремясь к нулю.

При изохорном процессе ($V = \text{const}$)

Плотность газа определяется как $ρ = \frac{m}{V}$. По условию задачи, количество вещества $\nu$ постоянно, следовательно, масса газа $m = \nu M$ также постоянна. В изохорном процессе объем $V$ по определению является постоянной величиной.

Таким образом, плотность $ρ = \frac{m}{V} = \text{const}$ не зависит от температуры.

Графиком зависимости $ρ(T)$ является горизонтальная прямая, параллельная оси температур.

Ответ: При изотермическом процессе ($T = \text{const}$), график в координатах $ρ-T$ – это вертикальная прямая. При изобарном процессе ($p = \text{const}$), график зависимости плотности от температуры – это гипербола ($ρ \propto 1/T$). При изохорном процессе ($V = \text{const}$), график зависимости плотности от температуры – это горизонтальная прямая ($ρ = \text{const}$), параллельная оси температур.