Номер 659, страница 123 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Диаметр шара, $d = 10 \text{ м}$

Масса оболочки, $m = 10 \text{ кг}$

Атмосферное давление, $p_a = 1.0 \cdot 10^5 \text{ Па}$

Температура наружного воздуха, $t_1 = 27°C$

Молярная масса воздуха, $\mu \approx 0.029 \text{ кг/моль}$

Универсальная газовая постоянная, $R \approx 8.314 \text{ Дж/(моль}\cdot\text{К)}$

Перевод в систему СИ:

Температура наружного воздуха, $T_1 = t_1 + 273 = 27 + 273 = 300 \text{ К}$

Найти:

Изменение температуры, $\Delta T$

Решение:

Для того чтобы воздушный шар взлетел, действующая на него выталкивающая сила Архимеда $F_A$ должна как минимум уравновесить суммарную силу тяжести, состоящую из силы тяжести оболочки шара $P_{обол}$ и силы тяжести находящегося в нем нагретого воздуха $P_{вн}$.

Условие взлета в предельном случае (равновесие сил):

$F_A = P_{обол} + P_{вн}$

Сила Архимеда равна весу вытесненного наружного воздуха:

$F_A = m_{выт} \cdot g = \rho_1 \cdot V \cdot g$

где $\rho_1$ – плотность наружного воздуха, $V$ – объем шара, $g$ – ускорение свободного падения.

Суммарная сила тяжести:

$P_{обол} + P_{вн} = m \cdot g + m_{вн} \cdot g = (m + \rho_2 \cdot V) \cdot g$

где $\rho_2$ – плотность нагретого воздуха внутри шара.

Приравниваем силы и сокращаем на $g$:

$\rho_1 V = m + \rho_2 V$

$(\rho_1 - \rho_2)V = m$

Плотность воздуха как идеального газа можно выразить из уравнения Менделеева-Клапейрона $p V = \frac{m_{газа}}{\mu} R T$. Так как $\rho = \frac{m_{газа}}{V}$, получаем $p = \frac{\rho}{\mu} R T$, откуда $\rho = \frac{p \mu}{R T}$.

Шар сообщается с атмосферой, поэтому давление внутри него равно атмосферному: $p_1 = p_2 = p_a$. Тогда плотности воздуха снаружи ($\rho_1$) и внутри ($\rho_2$) равны:

$\rho_1 = \frac{p_a \mu}{R T_1}$

$\rho_2 = \frac{p_a \mu}{R T_2}$

где $T_2$ – искомая температура воздуха внутри шара.

Из соотношения плотностей следует: $\rho_1 T_1 = \rho_2 T_2$, откуда $\rho_2 = \rho_1 \frac{T_1}{T_2}$.

Подставим это выражение в уравнение равновесия сил:

$(\rho_1 - \rho_1 \frac{T_1}{T_2})V = m$

$\rho_1 V (1 - \frac{T_1}{T_2}) = m$

Выразим отсюда температуру $T_2$:

$1 - \frac{T_1}{T_2} = \frac{m}{\rho_1 V}$

$\frac{T_1}{T_2} = 1 - \frac{m}{\rho_1 V}$

$T_2 = \frac{T_1}{1 - \frac{m}{\rho_1 V}}$

Вычислим необходимые величины. Объем шара:

$V = \frac{4}{3}\pi (\frac{d}{2})^3 = \frac{\pi d^3}{6} = \frac{\pi \cdot (10 \text{ м})^3}{6} \approx 523.6 \text{ м}^3$

Плотность наружного воздуха:

$\rho_1 = \frac{p_a \mu}{R T_1} = \frac{1.0 \cdot 10^5 \text{ Па} \cdot 0.029 \text{ кг/моль}}{8.314 \text{ Дж/(моль}\cdot\text{К)} \cdot 300 \text{ К}} \approx 1.162 \text{ кг/м}^3$

Теперь можем рассчитать температуру $T_2$:

$T_2 = \frac{300 \text{ К}}{1 - \frac{10 \text{ кг}}{1.162 \text{ кг/м}^3 \cdot 523.6 \text{ м}^3}} = \frac{300}{1 - \frac{10}{608.4}} \approx \frac{300}{1 - 0.0164} = \frac{300}{0.9836} \approx 305.0 \text{ К}$

Искомое изменение температуры $\Delta T$ равно:

$\Delta T = T_2 - T_1 = 305.0 \text{ К} - 300 \text{ К} = 5.0 \text{ К}$

Так как шкалы Кельвина и Цельсия имеют одинаковый размер единицы измерения, изменение температуры в градусах Цельсия будет таким же: $\Delta t = 5.0°C$.

Ответ: $5.0 \text{ К}$ (или $5.0°C$).