Номер 656, страница 122 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Два одинаковых сосуда объемом $V$ каждый.
Начальная температура газа в системе: $T_0 = T$
Конечная температура газа в первом сосуде: $T_1$
Конечная температура газа во втором сосуде: $T_2 = T$

Найти:

Отношение конечного давления к начальному: $k$

Решение:

Обозначим начальное давление в системе как $p$. Поскольку сосуды одинаковы по объему ($V$) и температура в них одинакова ($T$), то в каждом сосуде находится одинаковое количество газа. Общее количество вещества газа во всей системе обозначим как $\nu$.

Запишем уравнение состояния идеального газа (уравнение Менделеева-Клапейрона) для всей системы в начальном состоянии. Общий объем системы $V_{общ} = V + V = 2V$.

$p \cdot (2V) = \nu R T$

Отсюда общее количество вещества газа в системе:

$\nu = \frac{2 p V}{R T}$

После того, как один сосуд нагрели до температуры $T_1$, а температуру второго поддерживали равной $T$, в системе установится новое равновесное состояние. Подвижный поршень обеспечивает равенство давлений в обоих сосудах. Обозначим это новое установившееся давление как $p_1$.

При изменении температур произойдет перераспределение газа между сосудами. Пусть в первом (нагретом) сосуде окажется количество вещества $\nu_1$, а во втором (холодном) — $\nu_2$. Поскольку система является замкнутой (газ не покидает сосуды), общее количество вещества газа остается неизменным:

$\nu = \nu_1 + \nu_2$

Запишем уравнение состояния для газа в каждом из сосудов в конечном состоянии:

Для первого сосуда (нагретого до $T_1$): $p_1 V = \nu_1 R T_1$

Для второго сосуда (с температурой $T$): $p_1 V = \nu_2 R T$

Выразим $\nu_1$ и $\nu_2$ из этих уравнений:

$\nu_1 = \frac{p_1 V}{R T_1}$

$\nu_2 = \frac{p_1 V}{R T}$

Подставим эти выражения в уравнение сохранения количества вещества:

$\nu = \frac{p_1 V}{R T_1} + \frac{p_1 V}{R T} = \frac{p_1 V}{R} \left( \frac{1}{T_1} + \frac{1}{T} \right)$

Теперь приравняем два полученных выражения для общего количества вещества $\nu$:

$\frac{2 p V}{R T} = \frac{p_1 V}{R} \left( \frac{1}{T_1} + \frac{1}{T} \right)$

Сократим одинаковые множители $V/R$ в обеих частях уравнения:

$\frac{2 p}{T} = p_1 \left( \frac{1}{T_1} + \frac{1}{T} \right)$

Приведем выражение в скобках к общему знаменателю:

$\frac{2 p}{T} = p_1 \left( \frac{T + T_1}{T T_1} \right)$

Теперь выразим искомое отношение $k = \frac{p_1}{p}$, которое показывает, во сколько раз изменилось давление:

$k = \frac{p_1}{p} = \frac{2}{T} \cdot \frac{T T_1}{T + T_1}$

Сократив $T$, получаем окончательную формулу:

$k = \frac{2 T_1}{T + T_1}$

Ответ: давление в системе изменится в $k = \frac{2 T_1}{T + T_1}$ раз.