Номер 649, страница 121 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:
$V_1 = 3,0$ л
$V_2 = 7,0$ л
$V_3 = 5,0$ л
$p_1 = 0,20$ МПа
$p_2 = 0,30$ МПа
$p_3 = 0,060$ МПа
$T = \text{const}$ (температура постоянна)

$V_1 = 3,0 \cdot 10^{-3}$ м$^3$
$V_2 = 7,0 \cdot 10^{-3}$ м$^3$
$V_3 = 5,0 \cdot 10^{-3}$ м$^3$
$p_1 = 0,20 \cdot 10^6$ Па
$p_2 = 0,30 \cdot 10^6$ Па
$p_3 = 0,060 \cdot 10^6$ Па

Найти:
$p$

Решение:
Так как температура смеси газов остается такой же, как и начальная температура каждого газа, процесс смешивания является изотермическим. Мы можем применить закон Дальтона и закон Бойля-Мариотта.

Согласно закону Дальтона, давление смеси газов равно сумме парциальных давлений каждого из газов, входящих в смесь:
$p = p'_1 + p'_2 + p'_3$,
где $p'_1$, $p'_2$, и $p'_3$ — парциальные давления кислорода, азота и углекислого газа в смеси.

После соединения баллонов каждый газ займет общий объем, равный сумме объемов трех баллонов:
$V = V_1 + V_2 + V_3$

Парциальное давление каждого газа можно найти, используя закон Бойля-Мариотта для изотермического процесса ($pV = \text{const}$):
Для кислорода: $p_1 V_1 = p'_1 V \implies p'_1 = \frac{p_1 V_1}{V}$
Для азота: $p_2 V_2 = p'_2 V \implies p'_2 = \frac{p_2 V_2}{V}$
Для углекислого газа: $p_3 V_3 = p'_3 V \implies p'_3 = \frac{p_3 V_3}{V}$

Подставим выражения для парциальных давлений в закон Дальтона:
$p = \frac{p_1 V_1}{V} + \frac{p_2 V_2}{V} + \frac{p_3 V_3}{V} = \frac{p_1 V_1 + p_2 V_2 + p_3 V_3}{V}$
Заменив $V$ на $V_1 + V_2 + V_3$, получим итоговую формулу:
$p = \frac{p_1 V_1 + p_2 V_2 + p_3 V_3}{V_1 + V_2 + V_3}$

Проведем вычисления. Поскольку в формуле отношение однотипных величин, можно не переводить их в СИ, а использовать литры для объема и мегапаскали для давления. Ответ получится в мегапаскалях.

Найдем общий объем:
$V = 3,0 \text{ л} + 7,0 \text{ л} + 5,0 \text{ л} = 15,0 \text{ л}$

Подставим значения в формулу для давления смеси:
$p = \frac{0,20 \text{ МПа} \cdot 3,0 \text{ л} + 0,30 \text{ МПа} \cdot 7,0 \text{ л} + 0,060 \text{ МПа} \cdot 5,0 \text{ л}}{15,0 \text{ л}}$
$p = \frac{0,60 + 2,10 + 0,30}{15,0} \text{ МПа}$
$p = \frac{3,00}{15,0} \text{ МПа} = 0,20 \text{ МПа}$

Ответ: давление смеси $p = 0,20$ МПа.