Номер 652, страница 122 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$V = 1.5$ л
$m = 40$ г
$t = 27$ °C
$p = 2.0$ МПа
Смесь газов: кислород ($O_2$) и углекислый газ ($CO_2$)
Универсальная газовая постоянная $R \approx 8.31$ Дж/(моль·К)

Перевод в систему СИ:

$V = 1.5 \text{ л} = 1.5 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3$
$m = 40 \text{ г} = 40 \cdot 10^{-3} \text{ кг} = 0.04 \text{ кг}$
$T = 27 + 273 = 300 \text{ К}$
$p = 2.0 \text{ МПа} = 2.0 \cdot 10^6 \text{ Па}$
Молярная масса кислорода $M_1 = M(O_2) = 32 \cdot 10^{-3}$ кг/моль
Молярная масса углекислого газа $M_2 = M(CO_2) = 44 \cdot 10^{-3}$ кг/моль

Найти:

$m_1$ (масса кислорода), $m_2$ (масса углекислого газа)

Решение:

Обозначим массу кислорода как $m_1$, а массу углекислого газа как $m_2$.

Сумма масс газов равна общей массе смеси:

$m_1 + m_2 = m$ (1)

Для решения задачи воспользуемся уравнением состояния идеального газа (уравнением Менделеева-Клапейрона) для смеси газов. Согласно закону Дальтона, давление смеси идеальных газов равно сумме парциальных давлений газов, входящих в смесь. Уравнение состояния для смеси можно записать через общее количество вещества смеси $\nu_{смеси}$:

$p V = \nu_{смеси} R T$

Общее количество вещества смеси равно сумме количеств вещества каждого газа:

$\nu_{смеси} = \nu_1 + \nu_2 = \frac{m_1}{M_1} + \frac{m_2}{M_2}$

Подставим это выражение в уравнение состояния:

$p V = (\frac{m_1}{M_1} + \frac{m_2}{M_2}) R T$ (2)

Получили систему из двух уравнений (1) и (2) с двумя неизвестными $m_1$ и $m_2$.

Из уравнения (1) выразим $m_2$:

$m_2 = m - m_1$

Подставим это выражение для $m_2$ в уравнение (2):

$p V = (\frac{m_1}{M_1} + \frac{m - m_1}{M_2}) R T$

Разделим обе части на $RT$ и преобразуем выражение в скобках:

$\frac{p V}{R T} = \frac{m_1}{M_1} + \frac{m}{M_2} - \frac{m_1}{M_2}$

Сгруппируем члены с неизвестной $m_1$ в одной части уравнения, а известные величины — в другой:

$\frac{p V}{R T} - \frac{m}{M_2} = m_1 (\frac{1}{M_1} - \frac{1}{M_2})$

Приведем дроби в скобках к общему знаменателю:

$\frac{p V}{R T} - \frac{m}{M_2} = m_1 \frac{M_2 - M_1}{M_1 M_2}$

Отсюда выразим $m_1$:

$m_1 = \left(\frac{p V}{R T} - \frac{m}{M_2}\right) \frac{M_1 M_2}{M_2 - M_1}$

Подставим числовые значения в системе СИ:

$m_1 = \left(\frac{2.0 \cdot 10^6 \cdot 1.5 \cdot 10^{-3}}{8.31 \cdot 300} - \frac{0.04}{44 \cdot 10^{-3}}\right) \frac{32 \cdot 10^{-3} \cdot 44 \cdot 10^{-3}}{44 \cdot 10^{-3} - 32 \cdot 10^{-3}}$

$m_1 = \left(\frac{3000}{2493} - \frac{0.04}{0.044}\right) \frac{1.408 \cdot 10^{-3}}{0.012}$

$m_1 \approx (1.2034 - 0.9091) \cdot 0.1173$

$m_1 \approx 0.2943 \cdot 0.1173 \approx 0.0345$ кг

Переведем массу в граммы: $m_1 = 0.0345$ кг $= 34.5$ г.

Теперь найдем массу углекислого газа $m_2$ из уравнения (1):

$m_2 = m - m_1 = 40 \text{ г} - 34.5 \text{ г} = 5.5$ г

Ответ: масса кислорода $m_1 \approx 34.5$ г, масса углекислого газа $m_2 \approx 5.5$ г.