Номер 655, страница 122 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$V = 0,20$ л

$t_1 = 0,0°C$

$d = 5,0$ мм

$\Delta t = 2,0°C$

Перевод в систему СИ:

$V = 0,20 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3$

$T_1 = 0,0 + 273 = 273 \text{ К}$

$d = 5,0 \cdot 10^{-3} \text{ м}$

$\Delta T = \Delta t = 2,0 \text{ К}$

Найти:

$\Delta l$

Решение:

Рассмотрим состояние газа в двух баллонах до и после изменения температуры. Капелька ртути перемещается до тех пор, пока давление газа в обоих баллонах не станет одинаковым. Поскольку количество газа (число молей $ \nu $) в каждом баллоне не меняется, мы можем применить уравнение состояния идеального газа для каждого баллона.

Обозначим начальные параметры газа в каждом баллоне: объем $ V $, температура $ T_1 $, давление $ p_1 $. Количество вещества в каждом баллоне одинаково и равно $ \nu = \frac{p_1 V}{R T_1} $.

После изменения температуры один баллон нагревается, а другой охлаждается. Пусть первый баллон нагрет, а второй охлажден. Их новые температуры будут:

$ T_2 = T_1 + \Delta T $ (нагретый баллон)

$ T_3 = T_1 - \Delta T $ (охлажденный баллон)

При этом газ в нагретом баллоне расширится, а в охлажденном — сожмется. Капелька ртути переместится на расстояние $ \Delta l $, из-за чего объем газа в баллонах изменится. Изменение объема для каждого баллона составит $ \Delta V $, которое равно объему части трубки, пройденной капелькой:

$ \Delta V = S \cdot \Delta l = \frac{\pi d^2}{4} \Delta l $

где $ S $ — площадь поперечного сечения трубки.

Новые объемы газа в баллонах будут:

$ V_2 = V + \Delta V $ (объем нагретого газа)

$ V_3 = V - \Delta V $ (объем охлажденного газа)

В конечном состоянии система придет в равновесие, и давление в обоих баллонах станет одинаковым, обозначим его $ p_2 $. Запишем уравнение состояния для каждого баллона в конечном состоянии:

Для нагретого баллона: $ p_2 V_2 = \nu R T_2 \implies p_2 (V + \Delta V) = \nu R (T_1 + \Delta T) $

Для охлажденного баллона: $ p_2 V_3 = \nu R T_3 \implies p_2 (V - \Delta V) = \nu R (T_1 - \Delta T) $

Разделим первое уравнение на второе, чтобы исключить неизвестные $ p_2 $ и $ \nu $:

$ \frac{p_2 (V + \Delta V)}{p_2 (V - \Delta V)} = \frac{\nu R (T_1 + \Delta T)}{\nu R (T_1 - \Delta T)} $

$ \frac{V + \Delta V}{V - \Delta V} = \frac{T_1 + \Delta T}{T_1 - \Delta T} $

Решим это уравнение относительно $ \Delta V $. Используем свойство пропорции:

$ (V + \Delta V)(T_1 - \Delta T) = (V - \Delta V)(T_1 + \Delta T) $

$ V T_1 - V \Delta T + \Delta V T_1 - \Delta V \Delta T = V T_1 + V \Delta T - \Delta V T_1 - \Delta V \Delta T $

Сокращаем одинаковые члены с обеих сторон ($ V T_1 $ и $ -\Delta V \Delta T $):

$ -V \Delta T + \Delta V T_1 = V \Delta T - \Delta V T_1 $

$ 2 \Delta V T_1 = 2 V \Delta T $

$ \Delta V = V \frac{\Delta T}{T_1} $

Теперь подставим выражение для $ \Delta V $ через $ \Delta l $:

$ \frac{\pi d^2}{4} \Delta l = V \frac{\Delta T}{T_1} $

Отсюда выразим искомое перемещение $ \Delta l $:

$ \Delta l = \frac{4 V \Delta T}{\pi d^2 T_1} $

Подставим числовые значения:

$ \Delta l = \frac{4 \cdot (0,20 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3) \cdot 2,0 \text{ К}}{3,14 \cdot (5,0 \cdot 10^{-3} \text{ м})^2 \cdot 273 \text{ К}} = \frac{1,6 \cdot 10^{-3}}{3,14 \cdot 25 \cdot 10^{-6} \cdot 273} \text{ м} $

$ \Delta l \approx \frac{1,6 \cdot 10^{-3}}{21430 \cdot 10^{-6}} \text{ м} \approx 0,07466 \text{ м} $

Переведем результат в сантиметры и округлим до двух значащих цифр, как в исходных данных:

$ \Delta l \approx 7,47 \text{ см} \approx 7,5 \text{ см} $

Ответ: капелька переместится на расстояние $ \Delta l \approx 7,5 $ см.