Номер 658, страница 123 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано

Начальное отношение объемов: $\frac{V_{01}}{V_{02}} = \frac{1}{2}$
Начальная температура (нормальные условия): $T_0 = 273$ К
Конечная температура меньшей части: $t_1 = 27,0 \text{ °C}$
Конечная температура большей части: $t_2 = -123 \text{ °C}$

Перевод в СИ:
$T_1 = t_1 + 273 = 27 + 273 = 300 \text{ К}$
$T_2 = t_2 + 273 = -123 + 273 = 150 \text{ К}$

Найти:

Конечное отношение объемов: $\frac{V_1}{V_2}$

Решение

В начальном состоянии газ в обеих частях цилиндра находится при одинаковых давлении $P_0$ и температуре $T_0$ (нормальные условия), так как поршень подвижен и находится в равновесии. Запишем уравнение состояния идеального газа (уравнение Менделеева-Клапейрона) для каждой части:

Для меньшей части (1): $P_0 V_{01} = n_1 R T_0$
Для большей части (2): $P_0 V_{02} = n_2 R T_0$

где $n_1$ и $n_2$ — количество вещества газа в соответствующих частях, $R$ — универсальная газовая постоянная.

Разделив первое уравнение на второе, найдем отношение количеств вещества газа:

$\frac{P_0 V_{01}}{P_0 V_{02}} = \frac{n_1 R T_0}{n_2 R T_0}$

$\frac{V_{01}}{V_{02}} = \frac{n_1}{n_2}$

По условию $\frac{V_{01}}{V_{02}} = \frac{1}{2}$, следовательно, $\frac{n_1}{n_2} = \frac{1}{2}$.

После изменения температур поршень переместится в новое положение равновесия. В этом конечном состоянии давление в обеих частях снова будет одинаковым, обозначим его $P$. Новые объемы будут $V_1$ и $V_2$, а температуры $T_1$ и $T_2$ соответственно. Так как цилиндр закрыт, количество вещества $n_1$ и $n_2$ в каждой части остается неизменным.

Запишем уравнения состояния для конечного состояния:

Для первой части: $P V_1 = n_1 R T_1$
Для второй части: $P V_2 = n_2 R T_2$

Чтобы найти искомое отношение $\frac{V_1}{V_2}$, разделим эти два уравнения:

$\frac{P V_1}{P V_2} = \frac{n_1 R T_1}{n_2 R T_2}$

$\frac{V_1}{V_2} = \frac{n_1}{n_2} \cdot \frac{T_1}{T_2}$

Подставим известные значения: $\frac{n_1}{n_2} = \frac{1}{2}$, $T_1 = 300 \text{ К}$ и $T_2 = 150 \text{ К}$.

$\frac{V_1}{V_2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{300}{150} = \frac{1}{2} \cdot 2 = 1$

Ответ: поршень будет делить цилиндр в отношении 1:1, то есть объемы частей станут равными.