Номер 657, страница 122 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Масса водорода: $m_1 = 3,0 \text{ г} = 3,0 \times 10^{-3} \text{ кг}$
Масса азота: $m_2 = 14 \text{ г} = 14 \times 10^{-3} \text{ кг}$
Температуры газов одинаковы: $T_1 = T_2 = T$
Молярная масса водорода (H₂): $M_1 = 2 \text{ г/моль} = 2 \times 10^{-3} \text{ кг/моль}$
Молярная масса азота (N₂): $M_2 = 28 \text{ г/моль} = 28 \times 10^{-3} \text{ кг/моль}$

Найти:

Отношение объема водорода к общему объему цилиндра: $\frac{V_1}{V}$

Решение:

Поскольку поршень может скользить в горизонтальном цилиндре без трения, он находится в состоянии механического равновесия. Это означает, что давления газов по обе стороны от поршня равны:

$p_1 = p_2 = p$

По условию задачи, температуры газов также равны:

$T_1 = T_2 = T$

Запишем уравнение состояния идеального газа (уравнение Менделеева-Клапейрона) для водорода и азота, рассматривая их как идеальные газы:

Для водорода: $p_1 V_1 = \nu_1 R T_1$
Для азота: $p_2 V_2 = \nu_2 R T_2$

Здесь $\nu_1$ и $\nu_2$ — количество вещества (число молей) водорода и азота соответственно, $V_1$ и $V_2$ — их объемы, а $R$ — универсальная газовая постоянная.

Разделим первое уравнение на второе:

$\frac{p_1 V_1}{p_2 V_2} = \frac{\nu_1 R T_1}{\nu_2 R T_2}$

Учитывая, что $p_1=p_2$ и $T_1=T_2$, после сокращения одинаковых величин получаем:

$\frac{V_1}{V_2} = \frac{\nu_1}{\nu_2}$

Отношение объемов газов равно отношению их количеств вещества.

Количество вещества каждого газа найдем по формуле $\nu = m/M$, где $m$ — масса газа, а $M$ — его молярная масса.

Количество вещества водорода:

$\nu_1 = \frac{m_1}{M_1} = \frac{3,0 \text{ г}}{2 \text{ г/моль}} = 1,5 \text{ моль}$

Количество вещества азота:

$\nu_2 = \frac{m_2}{M_2} = \frac{14 \text{ г}}{28 \text{ г/моль}} = 0,5 \text{ моль}$

Теперь найдем отношение объемов:

$\frac{V_1}{V_2} = \frac{1,5 \text{ моль}}{0,5 \text{ моль}} = 3$

Это означает, что объем, занимаемый водородом, в 3 раза больше объема, занимаемого азотом: $V_1 = 3V_2$.

Общий объем цилиндра $V$ равен сумме объемов водорода и азота:

$V = V_1 + V_2$

Подставим в это выражение $V_2$ через $V_1$, то есть $V_2 = V_1 / 3$:

$V = V_1 + \frac{V_1}{3} = \frac{3V_1 + V_1}{3} = \frac{4V_1}{3}$

Искомая часть объема, которую занимает водород, равна отношению $\frac{V_1}{V}$:

$\frac{V_1}{V} = \frac{V_1}{\frac{4V_1}{3}} = \frac{3}{4} = 0,75$

Ответ: водород занимает $3/4$ или $0,75$ часть объема цилиндра.