Номер 650, страница 121 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$p_1 = 0,10 \text{ МПа}$

$p_2 = 0,30 \text{ МПа}$

$m_1 = m_2 = m_0$

$T_1 = T_2 = T$

Перевод в систему СИ:

$p_1 = 0,10 \cdot 10^6 \text{ Па} = 1 \cdot 10^5 \text{ Па}$

$p_2 = 0,30 \cdot 10^6 \text{ Па} = 3 \cdot 10^5 \text{ Па}$

Найти:

$p$ - ?

Решение:

Запишем уравнение состояния идеального газа (уравнение Менделеева–Клапейрона) для каждого сосуда до открытия крана. Пусть $V_1$ и $V_2$ — объемы сосудов, $M$ — молярная масса газа, $R$ — универсальная газовая постоянная.

Для первого сосуда:

$p_1 V_1 = \frac{m_1}{M} R T_1$

Для второго сосуда:

$p_2 V_2 = \frac{m_2}{M} R T_2$

По условию задачи массы газов и их температуры одинаковы: $m_1 = m_2 = m_0$ и $T_1 = T_2 = T$. Следовательно, правые части уравнений равны. Приравняем их левые части:

$p_1 V_1 = p_2 V_2$

После открытия крана газ займет общий объем $V = V_1 + V_2$, а общая масса газа станет $m = m_1 + m_2 = 2m_0$. Будем считать, что процесс смешения газов происходит при постоянной температуре, так как сосуды имели одинаковую температуру и теплообмен с окружающей средой не упоминается. Таким образом, конечная температура газа будет $T$.

Запишем уравнение состояния для газа в конечном состоянии, когда установится давление $p$:

$p V = \frac{m}{M} R T$

Подставим $V = V_1 + V_2$ и $m = 2m_0$:

$p (V_1 + V_2) = \frac{2m_0}{M} R T$

Из уравнения для первого сосуда $p_1 V_1 = \frac{m_0}{M} R T$. Подставим это выражение в правую часть уравнения для конечного состояния:

$p (V_1 + V_2) = 2 p_1 V_1$

Из соотношения $p_1 V_1 = p_2 V_2$ выразим $V_2$ через $V_1$: $V_2 = \frac{p_1}{p_2} V_1$.

Подставим это выражение для $V_2$ в предыдущее уравнение:

$p (V_1 + \frac{p_1}{p_2} V_1) = 2 p_1 V_1$

Вынесем $V_1$ за скобки в левой части:

$p V_1 (1 + \frac{p_1}{p_2}) = 2 p_1 V_1$

Сократим на $V_1$ (так как объем не равен нулю):

$p (1 + \frac{p_1}{p_2}) = 2 p_1$

$p (\frac{p_2 + p_1}{p_2}) = 2 p_1$

Выразим конечное давление $p$:

$p = \frac{2 p_1 p_2}{p_1 + p_2}$

Подставим числовые значения:

$p = \frac{2 \cdot 0,10 \text{ МПа} \cdot 0,30 \text{ МПа}}{0,10 \text{ МПа} + 0,30 \text{ МПа}} = \frac{0,06 \text{ МПа}^2}{0,40 \text{ МПа}} = 0,15 \text{ МПа}$

Ответ: установится давление $0,15 \text{ МПа}$.