Номер 643, страница 120 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Вместимость сосуда: $V$

Вместимость цилиндра насоса: $V_0$

Количество качаний: $n$

Первоначальное (атмосферное) давление: $p_a$

Найти:

Давление воздуха в сосуде после $n$ качаний: $p$

Решение:

Будем считать, что процесс нагнетания воздуха в сосуд является изотермическим, то есть температура воздуха не изменяется. Это позволяет нам использовать закон Бойля — Мариотта, согласно которому для постоянной массы газа при постоянной температуре произведение давления на объём остаётся постоянным ($pV = const$).

Изначально в сосуде объёмом $V$ находится воздух при давлении $p_a$. Количество этого воздуха можно условно выразить через произведение $p_aV$.

При каждом качании насос добавляет в сосуд порцию воздуха объёмом $V_0$, взятого из атмосферы при давлении $p_a$. Количество добавляемого за одно качание воздуха можно выразить как $p_aV_0$.

За $n$ качаний в сосуд будет добавлено $n$ таких порций. Общее количество добавленного воздуха будет соответствовать произведению $n \cdot p_aV_0$.

Таким образом, общее количество воздуха в сосуде после $n$ качаний складывается из начального количества и всего добавленного. Если бы весь этот газ находился при атмосферном давлении $p_a$, он бы занял объём, равный сумме начального объёма сосуда и суммарного объёма закачанного воздуха:

$V_{общ} = V + nV_0$

Теперь этот общий объём воздуха $V_{общ}$ при давлении $p_a$ сжимается до объёма сосуда $V$, в результате чего давление в нём становится равным $p$. Применим закон Бойля — Мариотта к этому процессу:

$p_a \cdot V_{общ} = p \cdot V$

Подставим выражение для $V_{общ}$ в это уравнение:

$p_a(V + nV_0) = pV$

Теперь выразим искомое давление $p$:

$p = \frac{p_a(V + nV_0)}{V}$

Это выражение можно представить в другом виде, разделив числитель на знаменатель почленно:

$p = p_a \left(\frac{V}{V} + \frac{nV_0}{V}\right) = p_a \left(1 + \frac{nV_0}{V}\right)$

Ответ: $p = p_a \left(1 + \frac{nV_0}{V}\right)$