Номер 639, страница 120 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$t_1 = 27^{\circ}C$

$l = 96 \text{ см}$

$h = 40 \text{ мм}$

$p_a = \text{нормальное атмосферное давление} = 760 \text{ мм рт. ст.}$

Перевод в систему СИ и другие удобные единицы:

$T_1 = t_1 + 273 = 27 + 273 = 300 \text{ К}$

$l = 96 \text{ см}$

$h = 40 \text{ мм} = 4 \text{ см}$

$p_h = \text{давление столба ртути высотой } h = 40 \text{ мм рт. ст.}$

Найти:

$t_2$

Решение:

Так как стеклянная трубка запаяна, количество воздуха в ней постоянно. Процесс изменения состояния воздуха описывается объединенным газовым законом (уравнением Клапейрона для постоянной массы газа):

$ \frac{p_1 V_1}{T_1} = \frac{p_2 V_2}{T_2} $

где $p_1, V_1, T_1$ – давление, объем и абсолютная температура воздуха в начальном состоянии, а $p_2, V_2, T_2$ – в конечном.

Рассмотрим начальное состояние (состояние 1).

Температура воздуха $T_1 = 300 \text{ К}$.

Объем воздуха $V_1$ пропорционален длине столбика воздуха $l$. Если $S$ – площадь поперечного сечения трубки, то $V_1 = S \cdot l$.

Давление воздуха в трубке $p_1$ уравновешивает атмосферное давление $p_a$ и давление столба ртути высотой $h$, так как уровень ртути в трубке на $h$ ниже, чем в сосуде. Следовательно, давление воздуха внутри больше атмосферного:

$ p_1 = p_a + p_h $

Для удобства будем измерять давление в миллиметрах ртутного столба:

$ p_1 = 760 \text{ мм рт. ст.} + 40 \text{ мм рт. ст.} = 800 \text{ мм рт. ст.} $

Рассмотрим конечное состояние (состояние 2).

По условию, уровни ртути в трубке и в сосуде должны сравняться. Это означает, что давление воздуха в трубке $p_2$ станет равным атмосферному давлению:

$ p_2 = p_a = 760 \text{ мм рт. ст.} $

Когда уровень ртути в трубке поднимется на высоту $h$, длина столбика воздуха уменьшится на эту же величину. Новая длина столбика воздуха:

$ l_2 = l - h = 96 \text{ см} - 4 \text{ см} = 92 \text{ см} $

Соответственно, новый объем воздуха $V_2 = S \cdot l_2 = S \cdot (l-h)$.

Теперь выразим искомую температуру $T_2$ из объединенного газового закона:

$ T_2 = T_1 \cdot \frac{p_2 V_2}{p_1 V_1} = T_1 \cdot \frac{p_2 \cdot S \cdot (l-h)}{p_1 \cdot S \cdot l} = T_1 \cdot \frac{p_2 (l-h)}{p_1 l} $

Подставим числовые значения. Так как в формулу входит отношение длин, их можно оставить в сантиметрах.

$ T_2 = 300 \text{ К} \cdot \frac{760 \text{ мм рт. ст.} \cdot 92 \text{ см}}{800 \text{ мм рт. ст.} \cdot 96 \text{ см}} = 300 \cdot \frac{760 \cdot 92}{800 \cdot 96} = 300 \cdot \frac{76 \cdot 92}{80 \cdot 96} $

Проведем вычисления:

$ T_2 = 300 \cdot \frac{19 \cdot 4}{20 \cdot 4} \cdot \frac{23 \cdot 4}{24 \cdot 4} = 300 \cdot \frac{19}{20} \cdot \frac{23}{24} = \frac{300}{20} \cdot \frac{19 \cdot 23}{24} = 15 \cdot \frac{437}{24} $

$ T_2 = \frac{5 \cdot 3 \cdot 437}{8 \cdot 3} = \frac{5 \cdot 437}{8} = \frac{2185}{8} = 273.125 \text{ К} $

Переведем температуру из шкалы Кельвина в шкалу Цельсия:

$ t_2 = T_2 - 273 = 273.125 - 273 = 0.125^{\circ}C $

Ответ: воздух в трубке необходимо охладить до температуры $0.125^{\circ}C$.