Номер 634, страница 119 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$V_1 = 40,0$ л

$T_1 = 300$ К

$p_1 = 15,0$ МПа

$h = 20,0$ м

$T_2 = 280$ К

$p_a = 100$ кПа

$V_1 = 40,0 \text{ л} = 40,0 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3 = 0,0400 \text{ м}^3$
$p_1 = 15,0 \text{ МПа} = 15,0 \cdot 10^6 \text{ Па}$
$p_a = 100 \text{ кПа} = 100 \cdot 10^3 \text{ Па} = 1,0 \cdot 10^5 \text{ Па}$

Найти:

$V_2$

Решение:

Будем считать воздух идеальным газом. Поскольку масса воздуха в процессе вытеснения воды не изменяется, мы можем использовать объединенный газовый закон. Обозначим начальные параметры воздуха в баллоне (состояние 1) и конечные параметры после вытеснения воды (состояние 2).

Состояние 1 (в баллоне):

Давление $p_1 = 15,0 \text{ МПа}$, объем $V_1 = 40,0 \text{ л}$, температура $T_1 = 300 \text{ К}$.

Состояние 2 (после вытеснения воды):

Когда воздух вытесняет воду из цистерны на глубине $h$, его давление $p_2$ становится равным давлению окружающей воды. Это давление складывается из атмосферного $p_a$ и гидростатического давления $\rho g h$.

$p_2 = p_a + \rho g h$

Примем плотность воды $\rho \approx 1000 \text{ кг/м}^3$ и ускорение свободного падения $g \approx 10 \text{ м/с}^2$.

Вычислим конечное давление:

$p_2 = 1,0 \cdot 10^5 \text{ Па} + 1000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot 10 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot 20,0 \text{ м} = 1,0 \cdot 10^5 \text{ Па} + 2,0 \cdot 10^5 \text{ Па} = 3,0 \cdot 10^5 \text{ Па}$

Температура воздуха в конечном состоянии становится равной температуре окружающей воды: $T_2 = 280 \text{ К}$.

Конечный объем, который займет воздух, $V_{\text{возд},2}$, равен сумме объема баллона $V_1$ и объема вытесненной воды $V_2$:

$V_{\text{возд},2} = V_1 + V_2$

Объединенный газовый закон для постоянной массы газа имеет вид:

$\frac{p_1 V_1}{T_1} = \frac{p_2 V_{\text{возд},2}}{T_2}$

Подставим выражение для $V_{\text{возд},2}$ в уравнение:

$\frac{p_1 V_1}{T_1} = \frac{p_2 (V_1 + V_2)}{T_2}$

Теперь выразим искомый объем воды $V_2$:

$V_1 + V_2 = \frac{p_1 V_1 T_2}{p_2 T_1}$

$V_2 = \frac{p_1 V_1 T_2}{p_2 T_1} - V_1 = V_1 \left( \frac{p_1 T_2}{p_2 T_1} - 1 \right)$

Подставим числовые значения. Для удобства можно оставить объем $V_1$ в литрах, тогда и результат для $V_2$ будет получен в литрах.

$V_2 = 40,0 \text{ л} \cdot \left( \frac{15,0 \cdot 10^6 \text{ Па} \cdot 280 \text{ К}}{3,0 \cdot 10^5 \text{ Па} \cdot 300 \text{ К}} - 1 \right)$

$V_2 = 40,0 \cdot \left( \frac{150 \cdot 280}{3 \cdot 300} - 1 \right) = 40,0 \cdot \left( \frac{50 \cdot 280}{300} - 1 \right) = 40,0 \cdot \left( \frac{14000}{300} - 1 \right)$

$V_2 = 40,0 \cdot \left( \frac{140}{3} - 1 \right) = 40,0 \cdot \left( \frac{140 - 3}{3} \right) = 40,0 \cdot \frac{137}{3} = \frac{5480}{3} \approx 1826,67 \text{ л}$

Округлим полученный результат до трех значащих цифр, в соответствии с точностью исходных данных.

$V_2 \approx 1830 \text{ л}$

Ответ: этим воздухом можно вытеснить объем воды $V_2 \approx 1830$ л.