Номер 641, страница 120 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$V_1 = 4,0$ л/с

$V = 0,12$ м³

$k = 9,0$

Начальное давление в баллоне $p_{нач} = p_{атм}$

Температура постоянна $T = const$

$V_1 = 4,0 \cdot 10^{-3}$ м³/с

Найти:

$\Delta t$

Решение:

Процесс закачки воздуха в баллон происходит при постоянной температуре, следовательно, он является изотермическим. Мы можем применить закон Бойля-Мариотта к общему количеству воздуха, которое окажется в баллоне в конце процесса.

Обозначим атмосферное давление как $p_{атм}$.

В начальный момент времени в баллоне объемом $V$ уже находится воздух под давлением $p_{нач} = p_{атм}$.

Компрессор за время $\Delta t$ дополнительно закачивает в баллон объем воздуха $\Delta V_{доп}$, измеренный при атмосферном давлении:

$\Delta V_{доп} = V_1 \cdot \Delta t$

Общий объем воздуха, который будет находиться в баллоне в конце процесса (если бы он находился при атмосферном давлении), равен сумме начального объема воздуха в баллоне и дополнительно закачанного объема:

$V_{общ} = V + \Delta V_{доп} = V + V_1 \cdot \Delta t$

В конце процесса этот общий объем воздуха $V_{общ}$ сжимается до объема баллона $V$, и его давление становится равным $p_{кон}$. По условию, конечное давление в $k$ раз превышает атмосферное:

$p_{кон} = k \cdot p_{атм}$

Для изотермического процесса (закон Бойля-Мариотта) произведение давления на объем для данной массы газа остается постоянным. Применим этот закон к общему количеству воздуха:

$p_{атм} \cdot V_{общ} = p_{кон} \cdot V$

Подставим выражения для $V_{общ}$ и $p_{кон}$:

$p_{атм} \cdot (V + V_1 \cdot \Delta t) = (k \cdot p_{атм}) \cdot V$

Сократим $p_{атм}$ в обеих частях уравнения:

$V + V_1 \cdot \Delta t = k \cdot V$

Теперь выразим искомое время $\Delta t$:

$V_1 \cdot \Delta t = k \cdot V - V$

$V_1 \cdot \Delta t = (k - 1) \cdot V$

$\Delta t = \frac{(k - 1) \cdot V}{V_1}$

Подставим числовые значения в систему СИ:

$\Delta t = \frac{(9,0 - 1) \cdot 0,12 \text{ м³}}{4,0 \cdot 10^{-3} \text{ м³/с}} = \frac{8,0 \cdot 0,12}{4,0 \cdot 10^{-3}} \text{ с} = \frac{0,96}{0,004} \text{ с} = 240 \text{ с}$

240 секунд можно перевести в минуты: $240 / 60 = 4$ мин.

Ответ: $\Delta t = 240$ с (или 4 мин).