Номер 637, страница 119 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$S = 100 \text{ см}^2 = 0.01 \text{ м}^2$

$h_1 = 60.0 \text{ см} = 0.60 \text{ м}$

$T_1 = 285 \text{ К}$

$m = 100 \text{ кг}$

$T_2 = 288 \text{ К}$

$p_a = 101325 \text{ Па}$ (нормальное атмосферное давление)

$g \approx 9.8 \text{ м/с}^2$ (ускорение свободного падения)

Найти:

$\Delta h$

Решение:

Рассмотрим два состояния газа в цилиндре: начальное (до добавления груза и нагрева) и конечное (после). Так как масса газа не меняется, мы можем использовать уравнение Клапейрона (объединенный газовый закон) для идеального газа, связывающее параметры двух состояний:

$\frac{p_1 V_1}{T_1} = \frac{p_2 V_2}{T_2}$

где $p_1, V_1, T_1$ — давление, объем и температура газа в начальном состоянии, а $p_2, V_2, T_2$ — в конечном.

1. Начальное состояние.

Поршень находится в равновесии. На него действуют сила давления газа изнутри ($p_1 S$) и сила атмосферного давления снаружи ($p_a S$). Поскольку массой поршня пренебрегаем, эти силы уравновешены:

$p_1 S = p_a S \Rightarrow p_1 = p_a = 101325 \text{ Па}$

Начальный объем газа: $V_1 = S \cdot h_1$.

2. Конечное состояние.

На поршень положили груз массой $m$. Теперь на поршень действуют сила давления газа изнутри ($p_2 S$), а снаружи — сила атмосферного давления ($p_a S$) и сила тяжести груза ($mg$). В состоянии равновесия:

$p_2 S = p_a S + mg$

Отсюда находим давление газа в конечном состоянии:

$p_2 = p_a + \frac{mg}{S}$

Вычислим $p_2$:

$p_2 = 101325 \text{ Па} + \frac{100 \text{ кг} \cdot 9.8 \text{ м/с}^2}{0.01 \text{ м}^2} = 101325 \text{ Па} + 98000 \text{ Па} = 199325 \text{ Па}$

Конечный объем газа: $V_2 = S \cdot h_2$, где $h_2$ — конечная высота поршня.

3. Найдем конечную высоту $h_2$.

Подставим выражения для объемов в объединенный газовый закон:

$\frac{p_1 S h_1}{T_1} = \frac{p_2 S h_2}{T_2}$

Сократим площадь $S$ и выразим $h_2$:

$h_2 = h_1 \cdot \frac{p_1}{p_2} \cdot \frac{T_2}{T_1}$

Подставим числовые значения:

$h_2 = 0.60 \text{ м} \cdot \frac{101325 \text{ Па}}{199325 \text{ Па}} \cdot \frac{288 \text{ К}}{285 \text{ К}} \approx 0.60 \cdot 0.5083 \cdot 1.0105 \approx 0.308 \text{ м}$

4. Найдем изменение высоты $\Delta h$.

Изменение высоты — это разность между конечной и начальной высотой:

$\Delta h = h_2 - h_1 = 0.308 \text{ м} - 0.60 \text{ м} = -0.292 \text{ м}$

Знак минус означает, что высота поршня уменьшилась.

Ответ: Изменение высоты поршня составляет $\Delta h = -0.292 \text{ м}$ (или $-29.2 \text{ см}$).