Номер 638, страница 120 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Разница уровней ртути, $\Delta h = 5,0 \text{ см}$

Начальная длина столба воздуха, $l_1 = 50 \text{ см}$

Начальная температура воздуха, $t_1 = 17 \text{ °C}$

Атмосферное давление, $p_a$ — нормальное

Перевод в систему СИ:

$\Delta h = 0,05 \text{ м}$

$l_1 = 0,5 \text{ м}$

$T_1 = 17 + 273 = 290 \text{ К}$

$p_a = 760 \text{ мм рт. ст.} \approx 1,013 \cdot 10^5 \text{ Па}$

Плотность ртути, $\rho_{Hg} \approx 13600 \text{ кг/м}^3$

Найти:

Изменение температуры воздуха, $\Delta T$.

Решение:

Воздух, запертый в трубке, можно считать идеальным газом. Процесс изменения его состояния от начального (1) до конечного (2) описывается объединенным газовым законом (уравнением Клапейрона):

$\frac{p_1 V_1}{T_1} = \frac{p_2 V_2}{T_2}$

где $p$, $V$ и $T$ — соответственно давление, объем и абсолютная температура газа.

Рассмотрим параметры газа в начальном и конечном состояниях.

Состояние 1 (начальное):

Объем воздуха в трубке пропорционален длине воздушного столба $l_1$, так как площадь поперечного сечения трубки $S$ постоянна: $V_1 = S \cdot l_1$.

Давление воздуха $p_1$ в трубке меньше атмосферного $p_a$, так как оно уравновешивается давлением внешнего воздуха за вычетом гидростатического давления столба ртути высотой $\Delta h$. Условие равновесия имеет вид: $p_a = p_1 + \rho_{Hg} g \Delta h$. Отсюда:

$p_1 = p_a - \rho_{Hg} g \Delta h$

Начальная абсолютная температура: $T_1 = t_1 + 273 = 17 + 273 = 290 \text{ К}$.

Состояние 2 (конечное):

По условию, уровень ртути в трубке опустился до уровня в сосуде. Это означает, что давление воздуха внутри трубки стало равным атмосферному давлению:

$p_2 = p_a$.

При этом воздух занял объем, который ранее был занят столбом ртути высотой $\Delta h$. Таким образом, новая длина столба воздуха равна $l_2 = l_1 + \Delta h$.

Новый объем воздуха: $V_2 = S \cdot l_2 = S \cdot (l_1 + \Delta h)$.

Подставим все выражения в объединенный газовый закон:

$\frac{(p_a - \rho_{Hg} g \Delta h) \cdot S l_1}{T_1} = \frac{p_a \cdot S (l_1 + \Delta h)}{T_2}$

Сократив на $S$, выразим конечную температуру $T_2$:

$T_2 = T_1 \cdot \frac{p_a (l_1 + \Delta h)}{(p_a - \rho_{Hg} g \Delta h) l_1}$

Для удобства вычислений выразим давления в сантиметрах ртутного столба (см рт. ст.). Нормальное атмосферное давление $p_a$ соответствует давлению столба ртути высотой 76 см. Гидростатическое давление столба ртути $\rho_{Hg} g \Delta h$ при $\Delta h = 5,0 \text{ см}$ соответствует 5,0 см рт. ст.

Тогда:

$p_1 = 76 \text{ см рт. ст.} - 5 \text{ см рт. ст.} = 71 \text{ см рт. ст.}$

$p_2 = 76 \text{ см рт. ст.}$

Длины столбов воздуха:

$l_1 = 50 \text{ см}$

$l_2 = 50 \text{ см} + 5 \text{ см} = 55 \text{ см}$

Теперь можем рассчитать конечную температуру $T_2$:

$T_2 = 290 \text{ К} \cdot \frac{76 \cdot 55}{71 \cdot 50} = 290 \cdot \frac{4180}{3550} \approx 290 \cdot 1,17746 \approx 341,46 \text{ К}$

Искомое изменение температуры $\Delta T$ равно разности конечной и начальной температур:

$\Delta T = T_2 - T_1 = 341,46 \text{ К} - 290 \text{ К} = 51,46 \text{ К}$

Изменение температуры в Кельвинах численно равно изменению температуры в градусах Цельсия ($\Delta T = \Delta t$). Учитывая, что исходные данные приведены с двумя значащими цифрами, округлим результат.

$\Delta T \approx 51 \text{ К}$ (или $\Delta t \approx 51 \text{ °C}$).

Ответ: температуру нужно увеличить примерно на 51 °C.