Номер 660, страница 123 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано

$V = 100 \text{ дм}^3 = 100 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3 = 0.1 \text{ м}^3$
$T_1 = 340 \text{ К}$
$T_2 = 290 \text{ К}$
$p_a = 100 \text{ кПа} = 100 \cdot 10^3 \text{ Па} = 10^5 \text{ Па}$
Молярная масса воздуха $M \approx 0.029 \text{ кг/моль}$
Универсальная газовая постоянная $R \approx 8.31 \text{ Дж/(моль} \cdot \text{К)}$

Найти:

$m$ — ?

Решение

Шар начнет подниматься, когда выталкивающая сила (сила Архимеда) $F_A$ станет больше суммарной силы тяжести, действующей на шар. Суммарная сила тяжести $P_{общ}$ складывается из силы тяжести бумажной оболочки $P_{об}$ и силы тяжести горячего воздуха внутри шара $P_{г.в.}$.

Условие подъема шара:

$F_A > P_{общ}$

$P_{общ} = P_{об} + P_{г.в.} = m \cdot g + m_{г.в.} \cdot g = (m + m_{г.в.}) \cdot g$

Выталкивающая сила $F_A$ равна весу окружающего (холодного) воздуха в объеме шара:

$F_A = m_{х.в.} \cdot g$

где $m_{г.в.}$ — масса горячего воздуха внутри шара, а $m_{х.в.}$ — масса холодного воздуха, вытесненного шаром.

Подставим выражения для сил в условие подъема:

$m_{х.в.} \cdot g > (m + m_{г.в.}) \cdot g$

Сократив на $g$, получим:

$m_{х.в.} > m + m_{г.в.}$

Отсюда найдем предельное значение массы оболочки $m$:

$m < m_{х.в.} - m_{г.в.}$

Массы горячего и холодного воздуха найдем из уравнения Менделеева-Клапейрона:

$pV = \frac{\text{масса}}{M}RT \implies \text{масса} = \frac{pVM}{RT}$

Давление воздуха внутри и снаружи шара одинаково и равно атмосферному $p_a$.

Масса горячего воздуха внутри шара при температуре $T_1$:

$m_{г.в.} = \frac{p_aVM}{RT_1}$

Масса вытесненного холодного воздуха при температуре $T_2$:

$m_{х.в.} = \frac{p_aVM}{RT_2}$

Подставим эти выражения в неравенство для массы оболочки:

$m < \frac{p_aVM}{RT_2} - \frac{p_aVM}{RT_1}$

Вынесем общий множитель за скобки:

$m < \frac{p_aVM}{R} \left( \frac{1}{T_2} - \frac{1}{T_1} \right)$

Подставим числовые значения и произведем расчеты:

$m < \frac{10^5 \text{ Па} \cdot 0.1 \text{ м}^3 \cdot 0.029 \text{ кг/моль}}{8.31 \text{ Дж/(моль} \cdot \text{К)}} \left( \frac{1}{290 \text{ К}} - \frac{1}{340 \text{ К}} \right)$

$m < \frac{290}{8.31} \left( \frac{340 - 290}{290 \cdot 340} \right) \text{ кг}$

$m < 34.9 \cdot \left( \frac{50}{98600} \right) \text{ кг}$

$m < 34.9 \cdot 0.000507 \text{ кг}$

$m < 0.0177 \text{ кг}$

Переведем массу в граммы для удобства:

$m < 17.7 \text{ г}$

Таким образом, шар будет подниматься, если масса его бумажной оболочки будет меньше 17.7 г.

Ответ: Шар будет подниматься при массе бумажной оболочки $m < 17.7$ г.