Номер 85, страница 25 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Пусть $v_1$, $\omega_1$, $r_1$ — начальные значения модуля линейной скорости, модуля угловой скорости и расстояния точки до оси вращения соответственно.
Пусть $v_2$, $\omega_2$, $r_2$ — конечные значения этих величин.
Из условия задачи известно, что:
$\omega_2 = 2 \cdot \omega_1$ (модуль угловой скорости увеличился в два раза)
$r_2 = \frac{r_1}{4}$ (расстояние до оси вращения уменьшилось в четыре раза)

Найти:

Во сколько раз изменился модуль линейной скорости, то есть найти отношение $\frac{v_2}{v_1}$.

Решение:

Связь между модулем линейной скорости $v$, модулем угловой скорости $\omega$ и радиусом окружности $r$ (расстоянием до оси вращения) описывается формулой:

$v = \omega \cdot r$

Запишем эту формулу для начального состояния движения:

$v_1 = \omega_1 \cdot r_1$

И для конечного состояния движения:

$v_2 = \omega_2 \cdot r_2$

Теперь подставим в формулу для конечной скорости $v_2$ выражения для $\omega_2$ и $r_2$ из раздела "Дано":

$v_2 = (2 \cdot \omega_1) \cdot \left(\frac{r_1}{4}\right)$

Упростим полученное выражение:

$v_2 = \frac{2}{4} \cdot (\omega_1 \cdot r_1) = \frac{1}{2} \cdot (\omega_1 \cdot r_1)$

Мы знаем, что выражение $\omega_1 \cdot r_1$ равно начальной линейной скорости $v_1$. Заменим его в формуле:

$v_2 = \frac{1}{2} \cdot v_1$

Из этого соотношения видно, что конечная скорость $v_2$ в два раза меньше начальной скорости $v_1$. Чтобы найти, во сколько раз изменилась скорость, можно найти отношение $\frac{v_1}{v_2}$:

$\frac{v_1}{v_2} = 2$

Следовательно, модуль линейной скорости уменьшился в 2 раза.

Ответ: Модуль линейной скорости уменьшится в 2 раза.