Номер 78, страница 23 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Средняя скорость $\langle v \rangle = 72 \frac{км}{ч}$

Общее время движения $\Delta t = 20 \text{ мин}$

Суммарное время разгона и торможения $\Delta t_1 = 4 \text{ мин}$

$\langle v \rangle = 72 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = 20 \frac{м}{с}$

$\Delta t = 20 \text{ мин} = 20 \cdot 60 \text{ с} = 1200 \text{ с}$

$\Delta t_1 = 4 \text{ мин} = 4 \cdot 60 \text{ с} = 240 \text{ с}$

Найти:

Скорость равномерного движения $v$.

Решение:

Общее расстояние $S$, которое прошел поезд, можно определить через среднюю скорость и общее время движения:

$S = \langle v \rangle \cdot \Delta t$

Это расстояние складывается из двух участков: пути, пройденного во время разгона и торможения ($S_1$), и пути, пройденного с постоянной скоростью ($S_2$).

$S = S_1 + S_2$

Время равномерного движения $\Delta t_2$ равно разности общего времени и времени неравномерного движения:

$\Delta t_2 = \Delta t - \Delta t_1$

Расстояние, пройденное во время равномерного движения, равно:

$S_2 = v \cdot \Delta t_2 = v \cdot (\Delta t - \Delta t_1)$

Поскольку поезд начинает движение из состояния покоя ($v_0 = 0$) и в конце останавливается ($v_к = 0$), можно предположить, что ускорение и замедление были постоянными. В этом случае средняя скорость на участке разгона и торможения составляет половину от максимальной скорости (скорости равномерного движения): $\frac{0+v}{2} = \frac{v}{2}$. Тогда расстояние, пройденное за время $\Delta t_1$, равно:

$S_1 = \frac{v}{2} \cdot \Delta t_1$

Теперь мы можем составить уравнение, приравняв два выражения для общего пути $S$:

$\langle v \rangle \cdot \Delta t = S_1 + S_2$

$\langle v \rangle \cdot \Delta t = \frac{v}{2} \cdot \Delta t_1 + v \cdot (\Delta t - \Delta t_1)$

Вынесем искомую скорость $v$ за скобки в правой части уравнения:

$\langle v \rangle \cdot \Delta t = v \cdot \left( \frac{\Delta t_1}{2} + \Delta t - \Delta t_1 \right)$

Упростим выражение в скобках:

$\langle v \rangle \cdot \Delta t = v \cdot \left( \Delta t - \frac{\Delta t_1}{2} \right)$

Отсюда выразим скорость равномерного движения $v$:

$v = \frac{\langle v \rangle \cdot \Delta t}{\Delta t - \frac{\Delta t_1}{2}}$

Подставим числовые значения в исходных единицах, предварительно переведя минуты в часы:

$\Delta t = 20 \text{ мин} = \frac{20}{60} \text{ ч} = \frac{1}{3} \text{ ч}$

$\Delta t_1 = 4 \text{ мин} = \frac{4}{60} \text{ ч} = \frac{1}{15} \text{ ч}$

$v = \frac{72 \frac{км}{ч} \cdot \frac{1}{3} \text{ ч}}{\frac{1}{3} \text{ ч} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{15} \text{ ч}} = \frac{24 \text{ км}}{\frac{1}{3} \text{ ч} - \frac{1}{30} \text{ ч}} = \frac{24 \text{ км}}{\frac{10 - 1}{30} \text{ ч}} = \frac{24 \text{ км}}{\frac{9}{30} \text{ ч}} = \frac{24 \cdot 30}{9} \frac{км}{ч} = \frac{8 \cdot 30}{3} \frac{км}{ч} = 8 \cdot 10 \frac{км}{ч} = 80 \frac{км}{ч}$

Ответ: $80 \frac{км}{ч}$.