Номер 80, страница 24 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$v_0 = 0$

$\alpha = 60^\circ$

$s_1 = 48 \text{ см}$

$s_2 = 80 \text{ см}$

$|\langle \vec{v} \rangle| = 14 \frac{\text{см}}{\text{с}}$

Перевод в СИ:

$s_1 = 0.48 \text{ м}$

$s_2 = 0.80 \text{ м}$

$|\langle \vec{v} \rangle| = 0.14 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Найти:

$v_{max}$

Решение:

Движение тела можно разделить на два этапа. Максимальная скорость $v_{max}$ достигается в момент перехода с наклонной плоскости на горизонтальную поверхность.

1. Первый этап: равноускоренное движение по наклонной плоскости.

Тело движется из состояния покоя ($v_0 = 0$) и проходит путь $s_1$, достигая скорости $v_{max}$. Для равноускоренного движения путь равен произведению средней скорости на время. Время движения на этом этапе $t_1$.

$s_1 = \frac{v_0 + v_{max}}{2} t_1 = \frac{v_{max}}{2} t_1$

Отсюда время движения на первом этапе:

$t_1 = \frac{2s_1}{v_{max}}$

2. Второй этап: равнозамедленное движение по горизонтальной поверхности.

Тело начинает движение со скоростью $v_{max}$ и останавливается, проходя путь $s_2$. Время движения на этом этапе $t_2$.

$s_2 = \frac{v_{max} + 0}{2} t_2 = \frac{v_{max}}{2} t_2$

Время движения на втором этапе:

$t_2 = \frac{2s_2}{v_{max}}$

3. Общее время движения.

Полное время движения $T$ равно сумме времен двух этапов:

$T = t_1 + t_2 = \frac{2s_1}{v_{max}} + \frac{2s_2}{v_{max}} = \frac{2(s_1 + s_2)}{v_{max}}$

4. Средняя скорость перемещения.

По определению, модуль средней скорости перемещения равен отношению модуля вектора полного перемещения $|\vec{\Delta R}|$ к полному времени движения $T$.

$|\langle \vec{v} \rangle| = \frac{|\vec{\Delta R}|}{T}$

Полное перемещение $\vec{\Delta R}$ является векторной суммой перемещения по наклонной плоскости $\vec{\Delta r_1}$ и перемещения по горизонтальной поверхности $\vec{\Delta r_2}$. Модули этих векторов равны $s_1$ и $s_2$ соответственно. Угол между этими векторами равен углу наклона плоскости $\alpha$. Модуль вектора суммарного перемещения можно найти по теореме косинусов:

$|\vec{\Delta R}|^2 = |\vec{\Delta r_1}|^2 + |\vec{\Delta r_2}|^2 + 2|\vec{\Delta r_1}||\vec{\Delta r_2}|\cos\alpha = s_1^2 + s_2^2 + 2s_1s_2\cos\alpha$

Следовательно, $|\vec{\Delta R}| = \sqrt{s_1^2 + s_2^2 + 2s_1s_2\cos\alpha}$.

5. Нахождение $v_{max}$.

Выразим общее время $T$ из формулы для средней скорости: $T = \frac{|\vec{\Delta R}|}{|\langle \vec{v} \rangle|}$.

Теперь приравняем два полученных выражения для общего времени $T$:

$\frac{2(s_1 + s_2)}{v_{max}} = \frac{\sqrt{s_1^2 + s_2^2 + 2s_1s_2\cos\alpha}}{|\langle \vec{v} \rangle|}$

Выразим из этого уравнения искомую максимальную скорость $v_{max}$:

$v_{max} = \frac{2(s_1 + s_2)|\langle \vec{v} \rangle|}{\sqrt{s_1^2 + s_2^2 + 2s_1s_2\cos\alpha}}$

6. Вычисления.

Подставим числовые значения. Для удобства будем использовать сантиметры и секунды.

$\cos(60^\circ) = 0.5$

Сначала вычислим модуль полного перемещения (знаменатель):

$|\vec{\Delta R}| = \sqrt{48^2 + 80^2 + 2 \cdot 48 \cdot 80 \cdot \cos(60^\circ)} = \sqrt{2304 + 6400 + 2 \cdot 48 \cdot 80 \cdot 0.5}$

$|\vec{\Delta R}| = \sqrt{2304 + 6400 + 3840} = \sqrt{12544} = 112 \text{ см}$

Теперь вычислим $v_{max}$:

$v_{max} = \frac{2(48 + 80) \cdot 14}{112} = \frac{2 \cdot 128 \cdot 14}{112}$

Учитывая, что $112 = 8 \cdot 14$:

$v_{max} = \frac{2 \cdot 128 \cdot 14}{8 \cdot 14} = \frac{2 \cdot 128}{8} = \frac{256}{8} = 32 \frac{\text{см}}{\text{с}}$

Ответ: $v_{max} = 32 \frac{\text{см}}{\text{с}}$.