Номер 81, страница 24 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$v_0 = 0$ м/с

$\alpha = 60^\circ$

$\Delta t_1 = 1,5$ с

$\Delta t_2 = 2,5$ с

$\Delta r = 1,4$ м

Найти:

$a_2$ - ?

Решение:

Движение тела состоит из двух этапов: равноускоренное движение по наклонной плоскости и равноускоренное движение по горизонтальной поверхности.

1. Движение по наклонной плоскости.

Тело начинает движение из состояния покоя ($v_0 = 0$). Пусть $a_1$ — ускорение тела на наклонной плоскости, а $v_1$ — его скорость в конце этого участка. Перемещение тела по наклонной плоскости $\Delta r_1$ и скорость $v_1$ связаны формулами:

$\Delta r_1 = v_0 \Delta t_1 + \frac{a_1 \Delta t_1^2}{2} = \frac{a_1 \Delta t_1^2}{2}$

$v_1 = v_0 + a_1 \Delta t_1 = a_1 \Delta t_1$

Исключим из этих уравнений ускорение $a_1$. Из второго уравнения $a_1 = v_1 / \Delta t_1$. Подставим в первое:

$\Delta r_1 = \frac{(v_1 / \Delta t_1) \Delta t_1^2}{2} = \frac{v_1 \Delta t_1}{2}$

2. Движение по горизонтальной поверхности.

По условию, при переходе на горизонтальную поверхность модуль скорости не меняется, поэтому начальная скорость на этом участке равна $v_1$. Перемещение тела $\Delta r_2$ за время $\Delta t_2$ при ускорении $a_2$ равно:

$\Delta r_2 = v_1 \Delta t_2 + \frac{a_2 \Delta t_2^2}{2}$

3. Полное перемещение.

Полное перемещение $\vec{\Delta r}$ является векторной суммой перемещений на двух участках: $\vec{\Delta r} = \vec{\Delta r_1} + \vec{\Delta r_2}$. Вектор $\vec{\Delta r_1}$ направлен вдоль наклонной плоскости, а вектор $\vec{\Delta r_2}$ — горизонтально. Угол между этими векторами равен углу наклона плоскости $\alpha$. Модуль вектора суммарного перемещения найдем по теореме косинусов:

$\Delta r^2 = (\Delta r_1)^2 + (\Delta r_2)^2 + 2 \Delta r_1 \Delta r_2 \cos \alpha$

В получившейся системе уравнений неизвестных ($\Delta r_1, \Delta r_2, v_1, a_2$) больше, чем уравнений. В задачах такого типа часто подразумевается дополнительное условие. Наиболее вероятным является то, что тело в конце второго участка останавливается, то есть его конечная скорость $v_2 = 0$.

Примем это условие: $v_2 = 0$. Тогда для второго участка движения:

$v_2 = v_1 + a_2 \Delta t_2 = 0 \implies a_2 = -\frac{v_1}{\Delta t_2}$

Теперь выразим $\Delta r_2$ через $v_1$:

$\Delta r_2 = v_1 \Delta t_2 + \frac{(-\frac{v_1}{\Delta t_2}) \Delta t_2^2}{2} = v_1 \Delta t_2 - \frac{v_1 \Delta t_2}{2} = \frac{v_1 \Delta t_2}{2}$

Теперь у нас есть выражения для $\Delta r_1$ и $\Delta r_2$ через одну неизвестную $v_1$. Подставим их в формулу для полного перемещения:

$\Delta r^2 = \left(\frac{v_1 \Delta t_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{v_1 \Delta t_2}{2}\right)^2 + 2 \left(\frac{v_1 \Delta t_1}{2}\right) \left(\frac{v_1 \Delta t_2}{2}\right) \cos \alpha$

$\Delta r^2 = \frac{v_1^2}{4} (\Delta t_1^2 + \Delta t_2^2 + 2 \Delta t_1 \Delta t_2 \cos \alpha)$

Выразим отсюда скорость $v_1$:

$v_1 = \sqrt{\frac{4 \Delta r^2}{\Delta t_1^2 + \Delta t_2^2 + 2 \Delta t_1 \Delta t_2 \cos \alpha}} = \frac{2 \Delta r}{\sqrt{\Delta t_1^2 + \Delta t_2^2 + 2 \Delta t_1 \Delta t_2 \cos \alpha}}$

Подставим числовые значения:

$\cos 60^\circ = 0,5$

$v_1 = \frac{2 \cdot 1,4}{\sqrt{1,5^2 + 2,5^2 + 2 \cdot 1,5 \cdot 2,5 \cdot 0,5}} = \frac{2,8}{\sqrt{2,25 + 6,25 + 3,75}} = \frac{2,8}{\sqrt{12,25}} = \frac{2,8}{3,5} = 0,8$ м/с.

Теперь найдем ускорение $a_2$:

$a_2 = -\frac{v_1}{\Delta t_2} = -\frac{0,8}{2,5} = -0,32$ м/с².

Задача требует найти модуль ускорения $a_2$.

$|a_2| = |-0,32| = 0,32$ м/с².

Ответ: модуль ускорения тела при движении по горизонтальной плоскости равен $0,32$ м/с².