Номер 74, страница 22 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$v_{01} = 2,0 \text{ м/с}$

$v_{02} = 12 \text{ м/с}$

$\Delta t = 10 \text{ с}$

$\vec{a}_1 = \vec{a}_2 = \vec{a}$

Все величины даны в системе СИ, перевод не требуется.

Найти:

$a_{min}$

Решение:

Выберем систему отсчета, связанную с землей. Ось $OX$ направим вдоль начальной скорости движения тел. Начало отсчета ($x=0$) — точка, из которой начинают движение оба тела. Время $t=0$ — момент начала движения первого тела.

Запишем уравнение движения для первого тела:

$x_1(t) = v_{01}t + \frac{at^2}{2}$

Второе тело начинает движение из той же точки, но с задержкой в $\Delta t$. Его движение начинается в момент времени $t = \Delta t$. Время его движения составляет $(t - \Delta t)$. Уравнение движения для второго тела (при $t \ge \Delta t$):

$x_2(t) = v_{02}(t - \Delta t) + \frac{a(t - \Delta t)^2}{2}$

Тело 2 догонит тело 1 в тот момент времени $t_{встр}$, когда их координаты совпадут, то есть $x_1(t_{встр}) = x_2(t_{встр})$. Для возможности такой встречи необходимо, чтобы это уравнение имело решение при $t_{встр} \ge \Delta t$.

$v_{01}t + \frac{at^2}{2} = v_{02}(t - \Delta t) + \frac{a(t - \Delta t)^2}{2}$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$v_{01}t + \frac{at^2}{2} = v_{02}t - v_{02}\Delta t + \frac{a(t^2 - 2t\Delta t + (\Delta t)^2)}{2}$

$v_{01}t + \frac{at^2}{2} = v_{02}t - v_{02}\Delta t + \frac{at^2}{2} - at\Delta t + \frac{a(\Delta t)^2}{2}$

Члены с $t^2$ сокращаются. Сгруппируем члены, содержащие $t$:

$t(v_{02} - v_{01} - a\Delta t) = v_{02}\Delta t - \frac{a(\Delta t)^2}{2}$

Выразим время встречи $t$:

$t = \frac{v_{02}\Delta t - \frac{a(\Delta t)^2}{2}}{v_{02} - v_{01} - a\Delta t}$

Чтобы второе тело смогло догнать первое, необходимо существование физически возможного времени встречи, то есть $t \ge \Delta t$.

$\frac{v_{02}\Delta t - \frac{a(\Delta t)^2}{2}}{v_{02} - v_{01} - a\Delta t} \ge \Delta t$

Перенесем $\Delta t$ в левую часть и приведем к общему знаменателю:

$\frac{v_{02}\Delta t - \frac{a(\Delta t)^2}{2} - \Delta t(v_{02} - v_{01} - a\Delta t)}{v_{02} - v_{01} - a\Delta t} \ge 0$

$\frac{v_{02}\Delta t - \frac{a(\Delta t)^2}{2} - v_{02}\Delta t + v_{01}\Delta t + a(\Delta t)^2}{v_{02} - v_{01} - a\Delta t} \ge 0$

$\frac{v_{01}\Delta t + \frac{a(\Delta t)^2}{2}}{v_{02} - v_{01} - a\Delta t} \ge 0$

Подставим числовые значения:

Числитель: $2,0 \cdot 10 + \frac{a \cdot 10^2}{2} = 20 + 50a$

Знаменатель: $12 - 2,0 - a \cdot 10 = 10 - 10a$

Получаем неравенство: $\frac{20 + 50a}{10 - 10a} \ge 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Найдем корни числителя и знаменателя:

$20 + 50a = 0 \implies 50a = -20 \implies a = -0,4 \text{ м/с}^2$

$10 - 10a = 0 \implies 10a = 10 \implies a = 1,0 \text{ м/с}^2$

Нанесем точки на числовую ось и определим знаки дроби в полученных интервалах. Так как знаменатель не может быть равен нулю, точка $a=1,0$ будет выколотой.

Интервалы: $(-\infty; -0,4]$, $[-0,4; 1)$, $(1; +\infty)$.

При $a > 1$ (например, $a=2$): $\frac{20+100}{10-20} < 0$.

При $a \in [-0,4; 1)$ (например, $a=0$): $\frac{20}{10} > 0$.

При $a < -0,4$ (например, $a=-1$): $\frac{20-50}{10+10} < 0$.

Таким образом, неравенство выполняется при $a \in [-0,4; 1)$.

Это диапазон значений ускорения, при которых второе тело сможет догнать первое. По условию задачи требуется найти модуль минимального ускорения $a_{min}$. Мы должны найти минимальное значение $|a|$ для всех $a$ из промежутка $[-0,4; 1)$.

Этот промежуток включает в себя как отрицательные, так и положительные значения, а также ноль. Минимальное значение модуля $|a|$ в этом диапазоне достигается при $a=0$.

$a_{min} = |0| = 0 \text{ м/с}^2$

Ответ: $a_{min} = 0 \text{ м/с}^2$.