Номер 69, страница 21 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$v_{01} = 3,0 \, \text{м/с}$

$a = 2,0 \, \text{м/с}^2$

$\Delta t_1 = 1,0 \, \text{с}$

$v_2 = 5,0 \, \text{м/с}$

$l = 0,10 \, \text{км}$

$l = 0,10 \, \text{км} = 100 \, \text{м}$

Найти:

$\Delta t$ - ?

Решение:

Выберем систему отсчета, связанную с Землей. Направим ось $OX$ вдоль прямой, соединяющей точки A и B, а начало отсчета поместим в точку A. В этой системе отсчета начальная координата первого тела $x_{01} = 0$, а второго $x_{02} = l = 100 \, \text{м}$.

Первое тело движется из точки A равноускоренно. Обозначим искомый промежуток времени движения первого тела до встречи как $\Delta t$. Его координата в момент встречи будет описываться уравнением:

$x_1(\Delta t) = x_{01} + v_{01}\Delta t + \frac{a(\Delta t)^2}{2} = v_{01}\Delta t + \frac{a(\Delta t)^2}{2}$

Второе тело начинает двигаться из точки B навстречу первому с задержкой $\Delta t_1$. Его движение равномерное и прямолинейное. Скорость второго тела направлена против оси $OX$, поэтому ее проекция на ось $OX$ отрицательна: $v_{2x} = -v_2$. Время движения второго тела до встречи составит $(\Delta t - \Delta t_1)$. Уравнение для его координаты в момент встречи:

$x_2(\Delta t) = x_{02} + v_{2x}(\Delta t - \Delta t_1) = l - v_2(\Delta t - \Delta t_1)$

В момент встречи координаты тел равны: $x_1(\Delta t) = x_2(\Delta t)$.

$v_{01}\Delta t + \frac{a(\Delta t)^2}{2} = l - v_2(\Delta t - \Delta t_1)$

Подставим числовые значения в уравнение:

$3,0 \cdot \Delta t + \frac{2,0 \cdot (\Delta t)^2}{2} = 100 - 5,0 \cdot (\Delta t - 1,0)$

$3\Delta t + (\Delta t)^2 = 100 - 5\Delta t + 5$

Сгруппируем все члены в левой части, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$(\Delta t)^2 + 3\Delta t + 5\Delta t - 100 - 5 = 0$

$(\Delta t)^2 + 8\Delta t - 105 = 0$

Решим это уравнение с помощью формулы для корней квадратного уравнения. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-105) = 64 + 420 = 484$

Найдем корни:

$\Delta t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 \pm \sqrt{484}}{2 \cdot 1} = \frac{-8 \pm 22}{2}$

Получаем два возможных значения для времени:

$\Delta t' = \frac{-8 - 22}{2} = \frac{-30}{2} = -15 \, \text{с}$

$\Delta t'' = \frac{-8 + 22}{2} = \frac{14}{2} = 7,0 \, \text{с}$

Время не может быть отрицательной величиной, поэтому корень $\Delta t' = -15 \, \text{с}$ не имеет физического смысла. Проверим условие $ \Delta t'' > \Delta t_1 $: $7,0 \, \text{с} > 1,0 \, \text{с}$, условие выполняется, что означает, что встреча происходит после начала движения второго тела. Таким образом, искомый промежуток времени равен $7,0 \, \text{с}$.

Ответ: $7,0 \, \text{с}$.