Номер 65, страница 21 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$s_5 = 5,0 \text{ см} = 0,05 \text{ м}$
$T = 5 \text{ с}$ (время до остановки)
$v_k = 0 \text{ м/с}$ (конечная скорость)

Найти:

$s_3$

Решение:

Движение материальной точки является равнозамедленным и прямолинейным. Путь, пройденный телом за n-ю секунду движения, можно найти как разность путей, пройденных за n секунд и за (n-1) секунд.

Общая формула пути при равноускоренном (равнозамедленном) движении: $S(t) = v_0t + \frac{at^2}{2}$, где $v_0$ — начальная скорость, $a$ — ускорение.

Тогда путь за n-ю секунду: $s_n = S(n) - S(n-1)$.

$s_n = (v_0n + \frac{an^2}{2}) - (v_0(n-1) + \frac{a(n-1)^2}{2}) = v_0n + \frac{an^2}{2} - v_0n + v_0 - \frac{a(n^2 - 2n + 1)}{2} = v_0 + \frac{a(2n-1)}{2} = v_0 + a(n-0,5)$.

Скорость тела в любой момент времени $t$ описывается формулой: $v(t) = v_0 + at$.

По условию, точка останавливается за 5 секунд. Это значит, что в момент времени $t = 5$ с ее скорость стала равна нулю.

$v(5) = v_0 + a \cdot 5 = 0$

Отсюда выразим начальную скорость: $v_0 = -5a$. (1)

Также по условию, за пятую секунду ($n=5$) точка проходит путь $s_5 = 0,05$ м. Используем выведенную формулу для пути за n-ю секунду:

$s_5 = v_0 + a(5 - 0,5) = v_0 + 4,5a$.

$v_0 + 4,5a = 0,05$. (2)

Получили систему из двух уравнений (1) и (2). Подставим выражение для $v_0$ из (1) в (2):

$(-5a) + 4,5a = 0,05$

$-0,5a = 0,05$

$a = -\frac{0,05}{0,5} = -0,1 \text{ м/с}^2$.

Ускорение отрицательное, что соответствует равнозамедленному движению.

Теперь найдем начальную скорость, используя уравнение (1):

$v_0 = -5a = -5 \cdot (-0,1) = 0,5 \text{ м/с}$.

Теперь мы можем найти путь, пройденный точкой за третью секунду ($n=3$), используя те же формулы:

$s_3 = v_0 + a(3 - 0,5) = v_0 + 2,5a$.

Подставим найденные значения $v_0$ и $a$:

$s_3 = 0,5 + 2,5 \cdot (-0,1) = 0,5 - 0,25 = 0,25 \text{ м}$.

Переведем результат в сантиметры: $0,25 \text{ м} = 25 \text{ см}$.

Ответ: $s_3 = 25$ см.