Номер 58, страница 20 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$\Delta t = 4,0 \text{ с}$
$s_1 = 24 \text{ м}$
$s_2 = 64 \text{ м}$

Все величины представлены в системе СИ.

Найти:

$v_0$ - ?
$a$ - ?

Решение:

Движение материальной точки является равноускоренным и прямолинейным. Путь, пройденный точкой за время $t$ при начальной скорости $v_0$ и ускорении $a$, описывается формулой:

$S(t) = v_0 t + \frac{at^2}{2}$

Рассмотрим движение точки на двух последовательных участках.

За первый промежуток времени $\Delta t$ точка проходит путь $s_1$. Подставим эти значения в формулу:

$s_1 = v_0 \Delta t + \frac{a(\Delta t)^2}{2} \quad (1)$

За два последовательных промежутка времени, то есть за общее время $t_{общ} = 2\Delta t$, точка проходит общий путь $S = s_1 + s_2$. Подставим эти значения в формулу:

$s_1 + s_2 = v_0 (2\Delta t) + \frac{a(2\Delta t)^2}{2} = 2v_0 \Delta t + 2a(\Delta t)^2 \quad (2)$

Мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными $v_0$ и $a$:

$\begin{cases} s_1 = v_0 \Delta t + \frac{1}{2}a(\Delta t)^2 \\ s_1 + s_2 = 2v_0 \Delta t + 2a(\Delta t)^2 \end{cases}$

Для решения системы умножим уравнение (1) на 2:

$2s_1 = 2v_0 \Delta t + a(\Delta t)^2 \quad (3)$

Теперь вычтем уравнение (3) из уравнения (2):

$(s_1 + s_2) - 2s_1 = (2v_0 \Delta t + 2a(\Delta t)^2) - (2v_0 \Delta t + a(\Delta t)^2)$

$s_2 - s_1 = a(\Delta t)^2$

Отсюда выразим ускорение $a$:

$a = \frac{s_2 - s_1}{(\Delta t)^2}$

Подставим числовые значения:

$a = \frac{64 \text{ м} - 24 \text{ м}}{(4,0 \text{ с})^2} = \frac{40 \text{ м}}{16 \text{ с}^2} = 2,5 \text{ м/с}^2$

Теперь найдем начальную скорость $v_0$. Для этого подставим выражение $a(\Delta t)^2 = s_2 - s_1$ в уравнение (3):

$2s_1 = 2v_0 \Delta t + (s_2 - s_1)$

$2s_1 - s_2 + s_1 = 2v_0 \Delta t$

$3s_1 - s_2 = 2v_0 \Delta t$

Отсюда выражаем $v_0$:

$v_0 = \frac{3s_1 - s_2}{2\Delta t}$

Подставим числовые значения:

$v_0 = \frac{3 \cdot 24 \text{ м} - 64 \text{ м}}{2 \cdot 4,0 \text{ с}} = \frac{72 \text{ м} - 64 \text{ м}}{8,0 \text{ с}} = \frac{8 \text{ м}}{8,0 \text{ с}} = 1,0 \text{ м/с}$

Ответ: начальная скорость $v_0 = 1,0 \text{ м/с}$, ускорение $a = 2,5 \text{ м/с}^2$.