Номер 55, страница 19 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Обозначим величины, относящиеся к мотоциклисту, индексом "м", а к велосипедисту — индексом "в".
Поскольку движение начинается из состояния покоя, начальные скорости обоих равны нулю:
$v_{0м} = 0$
$v_{0в} = 0$
Отношение ускорений:
$\frac{a_м}{a_в} = k = 3$

Все величины в задаче являются относительными, перевод в СИ не требуется.

Найти:

а) Отношение скоростей $\frac{v_м}{v_в}$ при условии, что время движения одинаково ($t_м = t_в = t$).

б) Отношение скоростей $\frac{v_м}{v_в}$ при условии, что пройденный путь одинаков ($s_м = s_в = s$).

Решение:

Поскольку движение начинается из состояния покоя и является равноускоренным, мы можем использовать стандартные формулы кинематики.

а) за одно и то же время

Скорость при равноускоренном движении определяется формулой $v = v_0 + at$. Так как $v_0 = 0$, формула упрощается до $v = at$.
Запишем это уравнение для мотоциклиста и велосипедиста:
$v_м = a_м t$
$v_в = a_в t$
Чтобы найти, во сколько раз скорость мотоциклиста больше, найдем их отношение:
$\frac{v_м}{v_в} = \frac{a_м t}{a_в t}$
Время $t$ сокращается, и мы получаем:
$\frac{v_м}{v_в} = \frac{a_м}{a_в}$
Подставляя известное из условия значение $k=3$, получаем:
$\frac{v_м}{v_в} = 3$
Ответ: Скорость мотоциклиста будет в 3 раза больше.

б) на одном и том же пути

Для нахождения скорости без использования времени воспользуемся формулой, связывающей путь, скорость и ускорение: $s = \frac{v^2 - v_0^2}{2a}$. Так как $v_0 = 0$, формула принимает вид $s = \frac{v^2}{2a}$.
Выразим из этой формулы скорость: $v^2 = 2as$, откуда $v = \sqrt{2as}$.
Запишем это уравнение для мотоциклиста и велосипедиста:
$v_м = \sqrt{2a_м s}$
$v_в = \sqrt{2a_в s}$
Найдем отношение их скоростей:
$\frac{v_м}{v_в} = \frac{\sqrt{2a_м s}}{\sqrt{2a_в s}} = \sqrt{\frac{2a_м s}{2a_в s}}$
Величина $2s$ сокращается, и мы получаем:
$\frac{v_м}{v_в} = \sqrt{\frac{a_м}{a_в}}$
Подставляя известное из условия значение $k=3$, получаем:
$\frac{v_м}{v_в} = \sqrt{3}$
Ответ: Скорость мотоциклиста будет в $\sqrt{3}$ раза больше (примерно в 1,73 раза).