Номер 48, страница 18 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Модуль начальной скорости: $v_0$
Модуль конечной скорости: $v = \frac{v_0}{2}$
Модуль постоянного ускорения: $a = |\vec{a}|$

Найти:

Промежуток времени: $\Delta t$
Пройденный путь: $s$

Решение:

Поскольку модуль скорости тела, движущегося с постоянным ускорением, уменьшается, движение является равнозамедленным. Это означает, что вектор ускорения $\vec{a}$ направлен противоположно вектору начальной скорости $\vec{v}_0$.
Для решения задачи будем использовать уравнения кинематики для прямолинейного равноускоренного движения. Выберем ось координат OX, сонаправленную с вектором начальной скорости. В таком случае проекция начальной скорости на эту ось будет $v_{0x} = v_0$, а проекция ускорения будет отрицательной: $a_x = -a$.

Определение промежутка времени $\Delta t$

Зависимость скорости от времени при равноускоренном движении описывается формулой:
$v(t) = v_0 + at$
В проекциях на выбранную ось OX для момента времени $t = \Delta t$, когда скорость стала равной $v = \frac{v_0}{2}$, уравнение примет вид:
$\frac{v_0}{2} = v_0 - a \Delta t$
Выразим из этого уравнения промежуток времени $\Delta t$:
$a \Delta t = v_0 - \frac{v_0}{2}$
$a \Delta t = \frac{v_0}{2}$
$\Delta t = \frac{v_0}{2a}$

Ответ: $\Delta t = \frac{v_0}{2a}$

Определение пройденного пути $s$

Для нахождения пути можно воспользоваться формулой, связывающей перемещение, скорости и ускорение, которая не включает время:
$s = \frac{v^2 - v_0^2}{2a_x}$
Подставим в эту формулу известные значения конечной скорости $v = \frac{v_0}{2}$, начальной скорости $v_0$ и проекции ускорения $a_x = -a$:
$s = \frac{(\frac{v_0}{2})^2 - v_0^2}{2(-a)}$
$s = \frac{\frac{v_0^2}{4} - v_0^2}{-2a}$
$s = \frac{-\frac{3}{4}v_0^2}{-2a}$
$s = \frac{3v_0^2}{8a}$

Ответ: $s = \frac{3v_0^2}{8a}$