Номер 44, страница 18 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

График зависимости проекции скорости $v_x$ от времени $t$.

Движение прямолинейное вдоль оси OX.

Все величины представлены в системе СИ (скорость в м/с, время в с).

Найти:

а) модуль перемещения $|\Delta\vec{r}_a|$ и путь $s_a$ за промежуток времени от $t_1 = 8,0$ с до $t_2 = 16$ с;

б) модуль перемещения $|\Delta\vec{r}_b|$ и путь $s_b$ за промежуток времени от $t_1 = 0,0$ с до $t_2 = 16$ с.

Решение:

При прямолинейном движении проекция перемещения тела $\Delta x$ численно равна площади фигуры, ограниченной графиком зависимости проекции скорости от времени $v_x(t)$, осью времени и перпендикулярами к ней в начальный и конечный моменты времени. Площадь фигуры, расположенной под осью времени, берется со знаком минус. Модуль перемещения $|\Delta\vec{r}|$ равен модулю проекции перемещения $|\Delta x|$.

Пройденный путь $s$ равен сумме модулей площадей фигур, ограниченных графиком $v_x(t)$ и осью времени.

а) от 8,0 с до 16 с

Для нахождения перемещения и пути в этом интервале времени, вычислим площади соответствующих фигур на графике.

1. Участок от $t = 8,0$ с до $t = 10,0$ с: движение равномерное ($v_x = 6,0$ м/с). Перемещение равно площади прямоугольника:

$\Delta x_1 = 6,0 \text{ м/с} \cdot (10,0 \text{ с} - 8,0 \text{ с}) = 12$ м.

2. Участок от $t = 10,0$ с до $t = 12,0$ с: тело замедляется, двигаясь в положительном направлении. Перемещение равно площади треугольника:

$\Delta x_2 = \frac{1}{2} \cdot 6,0 \text{ м/с} \cdot (12,0 \text{ с} - 10,0 \text{ с}) = 6,0$ м.

3. Участок от $t = 12,0$ с до $t = 14,0$ с: тело ускоряется в отрицательном направлении. Перемещение равно площади треугольника под осью времени:

$\Delta x_3 = \frac{1}{2} \cdot (-6,0 \text{ м/с}) \cdot (14,0 \text{ с} - 12,0 \text{ с}) = -6,0$ м.

4. Участок от $t = 14,0$ с до $t = 16,0$ с: тело замедляется, двигаясь в отрицательном направлении. Перемещение равно площади треугольника под осью времени:

$\Delta x_4 = \frac{1}{2} \cdot (-6,0 \text{ м/с}) \cdot (16,0 \text{ с} - 14,0 \text{ с}) = -6,0$ м.

Проекция перемещения за весь промежуток времени от 8,0 с до 16 с:

$\Delta x_a = \Delta x_1 + \Delta x_2 + \Delta x_3 + \Delta x_4 = 12 + 6,0 - 6,0 - 6,0 = 6,0$ м.

Модуль перемещения: $|\Delta\vec{r}_a| = |\Delta x_a| = 6,0$ м.

Пройденный путь $s_a$ равен сумме модулей перемещений на участках с неизменным направлением скорости:

$s_a = |\Delta x_1| + |\Delta x_2| + |\Delta x_3| + |\Delta x_4| = |12| + |6,0| + |-6,0| + |-6,0| = 12 + 6,0 + 6,0 + 6,0 = 30$ м.

Ответ: модуль перемещения $|\Delta\vec{r}_a| = 6,0$ м, пройденный путь $s_a = 30$ м.

б) от 0,0 с до 16 с

Для расчета перемещения и пути за весь промежуток времени от 0 до 16 с, необходимо учесть участки с 0 до 8 с и прибавить к ним результаты из пункта а).

1. Участок от $t = 0,0$ с до $t = 4,0$ с: движение равноускоренное. Перемещение равно площади треугольника:

$\Delta x_5 = \frac{1}{2} \cdot 6,0 \text{ м/с} \cdot (4,0 \text{ с} - 0,0 \text{ с}) = 12$ м.

2. Участок от $t = 4,0$ с до $t = 8,0$ с: движение равномерное. Перемещение равно площади прямоугольника:

$\Delta x_6 = 6,0 \text{ м/с} \cdot (8,0 \text{ с} - 4,0 \text{ с}) = 24$ м.

Проекция перемещения за весь промежуток времени от 0,0 с до 16 с равна сумме площадей всех участков:

$\Delta x_b = \Delta x_5 + \Delta x_6 + \Delta x_a = 12 + 24 + 6,0 = 42$ м.

Модуль перемещения: $|\Delta\vec{r}_b| = |\Delta x_b| = 42$ м.

Пройденный путь $s_b$ равен сумме путей на всех участках. Путь на участке 0-8 с равен перемещению, так как скорость была положительной: $s_{0-8} = \Delta x_5 + \Delta x_6 = 12 + 24 = 36$ м. Путь на участке 8-16 с был найден в пункте а): $s_a = 30$ м.

$s_b = s_{0-8} + s_a = 36 + 30 = 66$ м.

Альтернативно, можно просуммировать модули площадей всех фигур:

$s_b = |\Delta x_5| + |\Delta x_6| + |\Delta x_1| + |\Delta x_2| + |\Delta x_3| + |\Delta x_4| = 12 + 24 + 12 + 6,0 + |-6,0| + |-6,0| = 66$ м.

Ответ: модуль перемещения $|\Delta\vec{r}_b| = 42$ м, пройденный путь $s_b = 66$ м.