Номер 46, страница 18 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Начальная скорость: $v_0 = 0 \text{ м/с}$ (состояние покоя)

Ускорение: $a = \text{const}$ (равноускоренное движение)

Промежуток времени 1: $t_1$

Пройденный путь за время $t_1$: $s_1$

Пройденный путь за время $t_2$: $s_2$

Найти:

Промежуток времени 2: $t_2$

Решение:

Путь, пройденный материальной точкой при равноускоренном движении, определяется по формуле:

$s = v_0 t + \frac{at^2}{2}$

Согласно условию задачи, движение начинается из состояния покоя, следовательно, начальная скорость $v_0 = 0$. Формула для пройденного пути упрощается:

$s = \frac{at^2}{2}$

Запишем это уравнение для двух указанных в задаче случаев, учитывая, что ускорение $a$ постоянно.

1. За промежуток времени $t_1$ точка проходит путь $s_1$:

$s_1 = \frac{at_1^2}{2}$

2. За промежуток времени $t_2$ (отсчитываемый от начала движения) точка проходит путь $s_2$:

$s_2 = \frac{at_2^2}{2}$

Мы получили систему из двух уравнений. Чтобы найти искомое время $t_2$, разделим второе уравнение на первое. Это позволит нам исключить неизвестное ускорение $a$.

$\frac{s_2}{s_1} = \frac{\frac{at_2^2}{2}}{\frac{at_1^2}{2}}$

Сократим одинаковые множители $\frac{a}{2}$ в правой части выражения:

$\frac{s_2}{s_1} = \frac{t_2^2}{t_1^2}$

Теперь выразим из этого соотношения $t_2^2$:

$t_2^2 = t_1^2 \cdot \frac{s_2}{s_1}$

Для нахождения $t_2$ извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения. Так как время является положительной величиной, мы рассматриваем только арифметический корень:

$t_2 = \sqrt{t_1^2 \cdot \frac{s_2}{s_1}}$

$t_2 = t_1 \sqrt{\frac{s_2}{s_1}}$

Ответ: $t_2 = t_1 \sqrt{\frac{s_2}{s_1}}$