Номер 43, страница 17 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Движение равнопеременное.

График зависимости проекции скорости $v_x$ от пути $s$ (рис. 9, б).

Начальный момент времени $t_0 = 0$ с.

Конечный момент времени $t_1 = 4,0$ с.

Найти:

$|\Delta r_1|$ - модуль перемещения за промежуток времени от $t_0$ до $t_1$.

Решение:

Движение тела является равнопеременным, это означает, что его ускорение постоянно ($a_x = const$). Для такого движения справедлива формула, связывающая скорость, перемещение и ускорение (формула Торричелли):

$s = \frac{v_x^2 - v_{0x}^2}{2a_x}$

Пока тело движется в одном направлении (до остановки), пройденный путь $s$ совпадает с перемещением $\Delta x$. Выразим квадрат скорости:

$v_x^2 = v_{0x}^2 + 2a_x s$

Используя данные с графика (рис. 9, б), определим начальную скорость и ускорение тела. В начальный момент времени ($t=0$, соответственно, путь $s=0$) проекция скорости $v_{0x} = 3,0$ м/с.

Из графика видно, что скорость становится равной нулю ($v_x = 0$), когда тело прошло путь $s = 2,0$ м. Подставим эти значения в формулу, чтобы найти проекцию ускорения $a_x$:

$0^2 = (3,0 \text{ м/с})^2 + 2 \cdot a_x \cdot 2,0 \text{ м}$

$0 = 9,0 \text{ м}^2/\text{с}^2 + 4,0 \text{ м} \cdot a_x$

$a_x = -\frac{9,0 \text{ м}^2/\text{с}^2}{4,0 \text{ м}} = -2,25 \text{ м/с}^2$

Теперь, зная начальную скорость и ускорение, мы можем найти перемещение тела за заданный промежуток времени от $t_0 = 0$ с до $t_1 = 4,0$ с. Так как движение происходит по прямой, параллельной оси OX, перемещение $\Delta r_1$ будет равно изменению координаты $\Delta x_1$.

Воспользуемся кинематическим уравнением для перемещения при равнопеременном движении:

$\Delta x_1 = v_{0x} t_1 + \frac{a_x t_1^2}{2}$

Подставим известные значения:

$\Delta x_1 = 3,0 \text{ м/с} \cdot 4,0 \text{ с} + \frac{(-2,25 \text{ м/с}^2) \cdot (4,0 \text{ с})^2}{2}$

$\Delta x_1 = 12,0 \text{ м} + \frac{(-2,25 \text{ м/с}^2) \cdot 16,0 \text{ с}^2}{2}$

$\Delta x_1 = 12,0 \text{ м} - \frac{36,0 \text{ м}}{2}$

$\Delta x_1 = 12,0 \text{ м} - 18,0 \text{ м} = -6,0 \text{ м}$

Мы нашли проекцию перемещения на ось OX. Модуль перемещения $|\Delta r_1|$ равен модулю этой проекции, так как движение прямолинейное.

$|\Delta r_1| = |\Delta x_1| = |-6,0 \text{ м}| = 6,0 \text{ м}$

Ответ: модуль перемещения тела равен 6,0 м.