Номер 38, страница 16 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$x(t) = A + Bt + Ct^2$

$A = 3,0$ м

$B = 4,0$ м/с

$C = -2,0$ м/с²

$t_1 = 0$ с

$t_2 = 3,0$ с

$\Delta t = t_2 - t_1 = 3,0$ с

Найти:

1) $x_0, v_{0x}, a_x$

2) $\Delta r_x, s, v_x(t)$, графики $v_x(t)$, $\Delta r_x(t)$, $s(t)$, $|\langle\vec{v}\rangle|$, $\langle v \rangle$

Решение:

1) координату $x_0$, проекции скорости $v_{0x}$ и ускорения $a_x$ точки в момент начала отсчета времени

Заданный кинематический закон движения $x = A + Bt + Ct^2$ является частным случаем общего уравнения равноускоренного прямолинейного движения: $x(t) = x_0 + v_{0x}t + \frac{a_x t^2}{2}$.

Сравнивая эти два уравнения, мы можем определить начальные параметры движения:

Начальная координата $x_0$ (при $t=0$) соответствует коэффициенту $A$.

$x_0 = A = 3,0$ м.

Проекция начальной скорости $v_{0x}$ соответствует коэффициенту $B$.

$v_{0x} = B = 4,0$ м/с.

Коэффициент при $t^2$ в общем уравнении равен $\frac{a_x}{2}$, а в заданном уравнении - $C$. Следовательно, $\frac{a_x}{2} = C$.

Отсюда находим проекцию ускорения $a_x$:

$a_x = 2C = 2 \cdot (-2,0 \text{ м/с}^2) = -4,0$ м/с².

Ответ: Начальная координата $x_0 = 3,0$ м, проекция начальной скорости $v_{0x} = 4,0$ м/с, проекция ускорения $a_x = -4,0$ м/с².

2) проекцию перемещения $\Delta r_x$ и пройденный путь $s$ за промежуток времени от 0 до $t = 3,0$ с. Запишите уравнение зависимости проекции скорости $v_x$ от времени и постройте графики зависимостей проекции скорости $v_x$, проекции перемещения $\Delta r_x$ и пути $s$ от времени. Чему равны модули средней скорости перемещения $|\langle\vec{v}\rangle|$ и средней путевой скорости $\langle v \rangle$ за промежуток времени $\Delta t = 3,0$ с?

Сначала найдем уравнение зависимости проекции скорости $v_x$ от времени. Скорость является первой производной координаты по времени:

$v_x(t) = x'(t) = \frac{d}{dt}(A + Bt + Ct^2) = B + 2Ct$.

Подставим числовые значения:

$v_x(t) = 4,0 - 4,0t$ (в м/с).

Теперь найдем проекцию перемещения $\Delta r_x$ за промежуток времени от $t_1=0$ с до $t_2=3,0$ с.

$\Delta r_x = x(t_2) - x(t_1) = x(3,0) - x(0)$.

$x(t) = 3,0 + 4,0t - 2,0t^2$.

$x(0) = 3,0 + 4,0 \cdot 0 - 2,0 \cdot 0^2 = 3,0$ м.

$x(3,0) = 3,0 + 4,0 \cdot 3,0 - 2,0 \cdot (3,0)^2 = 3,0 + 12,0 - 18,0 = -3,0$ м.

$\Delta r_x = -3,0 \text{ м} - 3,0 \text{ м} = -6,0$ м.

Для нахождения пройденного пути $s$ необходимо проверить, менялось ли направление движения. Направление меняется, когда скорость становится равной нулю.

$v_x(t) = 0 \implies 4,0 - 4,0t = 0 \implies t = 1,0$ с.

Так как момент времени $t = 1,0$ с находится внутри нашего промежутка [0; 3,0], то точка меняла направление движения. Путь будет равен сумме модулей перемещений на участках от 0 до 1,0 с и от 1,0 с до 3,0 с.

$s = |x(1,0) - x(0)| + |x(3,0) - x(1,0)|$.

Найдем координату в момент времени $t=1,0$ с:

$x(1,0) = 3,0 + 4,0 \cdot 1,0 - 2,0 \cdot (1,0)^2 = 3,0 + 4,0 - 2,0 = 5,0$ м.

$s = |5,0 \text{ м} - 3,0 \text{ м}| + |-3,0 \text{ м} - 5,0 \text{ м}| = |2,0 \text{ м}| + |-8,0 \text{ м}| = 2,0 \text{ м} + 8,0 \text{ м} = 10,0$ м.

Найдем модуль средней скорости перемещения $|\langle\vec{v}\rangle|$ и среднюю путевую скорость $\langle v \rangle$.

$|\langle\vec{v}\rangle| = \frac{|\Delta r_x|}{\Delta t} = \frac{|-6,0 \text{ м}|}{3,0 \text{ с}} = 2,0$ м/с.

$\langle v \rangle = \frac{s}{\Delta t} = \frac{10,0 \text{ м}}{3,0 \text{ с}} \approx 3,3$ м/с.

Построение графиков (описание):

1. График $v_x(t) = 4,0 - 4,0t$: Прямая линия, убывающая. Проходит через точки $(0; 4,0)$ и $(1,0; 0)$. При $t=3,0$ с, $v_x = -8,0$ м/с, точка на графике $(3,0; -8,0)$.

2. График проекции перемещения $\Delta r_x(t) = x(t) - x(0) = 4,0t - 2,0t^2$: Парабола с ветвями, направленными вниз. Вершина параболы находится в точке $t=1,0$ с, где $\Delta r_x(1,0) = 2,0$ м. График начинается в точке $(0; 0)$ и заканчивается в точке $(3,0; -6,0)$.

3. График пути $s(t)$: Состоит из двух участков. На участке от 0 до 1,0 с, где $v_x \ge 0$, путь совпадает с перемещением: $s(t) = 4,0t - 2,0t^2$. Это участок параболы от $(0; 0)$ до $(1,0; 2,0)$. На участке от 1,0 с до 3,0 с, где $v_x < 0$, путь равен пути, пройденному до разворота, плюс модуль перемещения после разворота: $s(t) = s(1,0) + |x(t) - x(1,0)| = 2,0 + |(3+4t-2t^2) - 5| = 2,0 + |2t^2-4t+2| = 2t^2-4t+4$. Это восходящий участок другой параболы, идущий от точки $(1,0; 2,0)$ до точки $(3,0; 10,0)$.

Ответ: Проекция перемещения $\Delta r_x = -6,0$ м; пройденный путь $s = 10,0$ м; уравнение скорости $v_x(t) = 4,0 - 4,0t$; модуль средней скорости перемещения $|\langle\vec{v}\rangle| = 2,0$ м/с; средняя путевая скорость $\langle v \rangle \approx 3,3$ м/с.