Номер 33, страница 15 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$l = 150 \text{ км}$

$v_1 = 180 \frac{\text{км}}{\text{ч}}$ (скорость вертолета относительно ветра)

$v_2 = 20,0 \frac{\text{м}}{\text{с}}$ (скорость ветра)

Для удобства расчетов переведем скорость ветра в $\frac{\text{км}}{\text{ч}}$:

$v_2 = 20,0 \frac{\text{м}}{\text{с}} = 20,0 \cdot 3,6 \frac{\text{км}}{\text{ч}} = 72 \frac{\text{км}}{\text{ч}}$

Найти:

$\Delta t$ — продолжительность полета.

Решение:

Вертолет летит из пункта А в пункт В (на юг), а затем обратно (на север). Все это время дует западный ветер, то есть с запада на восток, перпендикулярно курсу вертолета.

Скорость вертолета относительно земли ($\vec{v}$) является векторной суммой его скорости относительно воздуха ($\vec{v}_1$) и скорости самого воздуха, то есть ветра ($\vec{v}_2$):

$\vec{v} = \vec{v}_1 + \vec{v}_2$

Для того чтобы вертолет двигался строго на юг или на север, его результирующая скорость $\vec{v}$ (относительно земли) должна быть направлена по меридиану. Скорость ветра $\vec{v}_2$ направлена перпендикулярно этому направлению. Это означает, что пилот должен направлять вертолет под некоторым углом к меридиану, чтобы скомпенсировать снос ветром.

Векторы скоростей образуют прямоугольный треугольник, в котором:

• гипотенуза — это скорость вертолета относительно воздуха, $v_1$;
• один катет — это скорость ветра, $v_2$;
• второй катет — это скорость вертолета относительно земли, $v$.

По теореме Пифагора:

$v_1^2 = v^2 + v_2^2$

Отсюда можем выразить скорость вертолета относительно земли $v$:

$v = \sqrt{v_1^2 - v_2^2}$

Эта скорость будет одинаковой как при полете на юг, так и при полете обратно на север, поскольку ветер в обоих случаях является боковым.

Подставим числовые значения:

$v = \sqrt{(180 \frac{\text{км}}{\text{ч}})^2 - (72 \frac{\text{км}}{\text{ч}})^2}$

Для упрощения вычислений вынесем за скобки общий множитель 36, так как $180 = 5 \cdot 36$ и $72 = 2 \cdot 36$:

$v = \sqrt{(5 \cdot 36)^2 - (2 \cdot 36)^2} \frac{\text{км}}{\text{ч}} = \sqrt{36^2 \cdot (5^2 - 2^2)} \frac{\text{км}}{\text{ч}} = 36 \sqrt{25 - 4} \frac{\text{км}}{\text{ч}} = 36\sqrt{21} \frac{\text{км}}{\text{ч}}$

Общее расстояние, которое пролетел вертолет, равно $2l$ (туда и обратно).

Общая продолжительность полета $\Delta t$ равна общему расстоянию, деленному на скорость относительно земли:

$\Delta t = \frac{2l}{v} = \frac{2 \cdot 150 \text{ км}}{36\sqrt{21} \frac{\text{км}}{\text{ч}}} = \frac{300}{36\sqrt{21}} \text{ ч} = \frac{25}{3\sqrt{21}} \text{ ч}$

Теперь вычислим приближенное значение. Используя $\sqrt{21} \approx 4,583$:

$\Delta t \approx \frac{25}{3 \cdot 4,583} \text{ ч} \approx \frac{25}{13,749} \text{ ч} \approx 1,818 \text{ ч}$

Переведем это значение в часы и минуты для наглядности:

$0,818 \text{ ч} \cdot 60 \frac{\text{мин}}{\text{ч}} \approx 49 \text{ мин}$

Таким образом, полет займет примерно 1 час 49 минут.

Ответ: $\Delta t = \frac{25}{3\sqrt{21}} \text{ ч} \approx 1,82 \text{ ч}$