Номер 32, страница 14 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

График зависимости координаты второго автомобиля от времени в системе отсчета (СО), связанной с первым автомобилем, $x_{21}(t)$ (Рис. 5).
Из графика: начальная относительная координата $x_{21}(0) = 200$ м, в момент времени $t = 40,0$ с относительная координата $x_{21}(40,0) = 0$ м.
Начало координат в СО, связанной с Землей, совпадает с начальным положением первого автомобиля: $x_1(0) = 0$.
Скорости первого автомобиля относительно Земли:
а) $v_1 = 2,00 \frac{м}{с}$, направлена по оси OX.
б) $v_1 = 6,00 \frac{м}{с}$, направлена по оси OX.
в) $v_1 = 2,00 \frac{м}{с}$, направлена в сторону, противоположную оси OX.

Найти:

1. Уравнения движения автомобилей $x_1(t)$ и $x_2(t)$ в СО, связанной с Землей, для каждого случая.
2. Построить (описать) графики движения $x_1(t)$ и $x_2(t)$ для каждого случая.
3. Описать характер движения в каждом случае.

Решение:

Сначала проанализируем данные из графика. График $x_{21}(t)$ представляет собой прямую линию, следовательно, относительное движение автомобилей является равномерным.

1. Найдем относительную скорость.
Скорость второго автомобиля относительно первого ($v_{21}$) равна тангенсу угла наклона графика к оси времени. $v_{21x} = \frac{\Delta x_{21}}{\Delta t} = \frac{x_{21}(40) - x_{21}(0)}{40,0 - 0} = \frac{0 - 200 \text{ м}}{40,0 \text{ с}} = -5,00 \frac{\text{м}}{\text{с}}$.
Знак "минус" означает, что проекция вектора относительной скорости на ось OX отрицательна, т.е. расстояние между автомобилями сокращается.

2. Определим начальные условия в СО, связанной с Землей.
По условию, начало координат совпадает с начальным положением первого автомобиля: $x_1(0) = 0$.
Начальная координата второго автомобиля $x_2(0)$ находится из определения относительной координаты: $x_{21}(0) = x_2(0) - x_1(0)$.
$200 \text{ м} = x_2(0) - 0 \Rightarrow x_2(0) = 200 \text{ м}$.

3. Запишем общие уравнения движения.
Так как движение равномерное, уравнение движения имеет вид $x(t) = x_0 + v_x t$.
Для первого автомобиля: $x_1(t) = x_1(0) + v_{1x}t = v_{1x}t$.
Для второго автомобиля: $x_2(t) = x_2(0) + v_{2x}t = 200 + v_{2x}t$.
Скорость второго автомобиля относительно Земли ($v_{2x}$) найдем по закону сложения скоростей: $v_{2x} = v_{1x} + v_{21x} = v_{1x} - 5,00$.

Рассмотрим каждый случай отдельно.

а) Скорость первого автомобиля $v_{1x} = 2,00 \frac{м}{с}$

1. Найдем скорость второго автомобиля:
$v_{2x} = v_{1x} + v_{21x} = 2,00 + (-5,00) = -3,00 \frac{м}{с}$.

2. Запишем уравнения движения:
Уравнение движения первого автомобиля: $x_1(t) = 2,00t$.
Уравнение движения второго автомобиля: $x_2(t) = 200 - 3,00t$.

3. Опишем характер движения и построим графики:
Первый автомобиль движется в положительном направлении оси OX, а второй — в отрицательном. Автомобили движутся навстречу друг другу. Они встретятся, когда их координаты совпадут: $x_1(t) = x_2(t)$.
$2,00t = 200 - 3,00t \Rightarrow 5,00t = 200 \Rightarrow t = 40,0$ с.
Координата встречи: $x_{встр} = 2,00 \cdot 40,0 = 80,0$ м.
Графики движения — прямые линии.

• График $x_1(t)$ проходит через точки (0 с; 0 м) и (40,0 с; 80,0 м).
• График $x_2(t)$ проходит через точки (0 с; 200 м) и (40,0 с; 80,0 м).

Ответ: Уравнения движения: $x_1(t) = 2,00t$, $x_2(t) = 200 - 3,00t$. Характер движения: автомобили движутся навстречу друг другу и встречаются в момент времени $t=40,0$ с в точке с координатой $x=80,0$ м.

б) Скорость первого автомобиля $v_{1x} = 6,00 \frac{м}{с}$

1. Найдем скорость второго автомобиля:
$v_{2x} = v_{1x} + v_{21x} = 6,00 + (-5,00) = 1,00 \frac{м}{с}$.

2. Запишем уравнения движения:
Уравнение движения первого автомобиля: $x_1(t) = 6,00t$.
Уравнение движения второго автомобиля: $x_2(t) = 200 + 1,00t$.

3. Опишем характер движения и построим графики:
Оба автомобиля движутся в положительном направлении оси OX. Так как первый автомобиль, находящийся позади ($x_1(0)=0$), движется с большей скоростью, чем второй, находящийся впереди ($x_2(0)=200$ м), то первый автомобиль догоняет второй. Они встретятся, когда их координаты совпадут: $x_1(t) = x_2(t)$.
$6,00t = 200 + 1,00t \Rightarrow 5,00t = 200 \Rightarrow t = 40,0$ с.
Координата встречи: $x_{встр} = 6,00 \cdot 40,0 = 240$ м.
Графики движения — прямые линии.

• График $x_1(t)$ проходит через точки (0 с; 0 м) и (40,0 с; 240 м).
• График $x_2(t)$ проходит через точки (0 с; 200 м) и (40,0 с; 240 м).

Ответ: Уравнения движения: $x_1(t) = 6,00t$, $x_2(t) = 200 + 1,00t$. Характер движения: автомобили движутся в одном направлении, первый догоняет второй. Они встречаются в момент времени $t=40,0$ с в точке с координатой $x=240$ м.

в) Скорость первого автомобиля $v_{1x} = -2,00 \frac{м}{с}$

1. Найдем скорость второго автомобиля:
$v_{2x} = v_{1x} + v_{21x} = -2,00 + (-5,00) = -7,00 \frac{м}{с}$.

2. Запишем уравнения движения:
Уравнение движения первого автомобиля: $x_1(t) = -2,00t$.
Уравнение движения второго автомобиля: $x_2(t) = 200 - 7,00t$.

3. Опишем характер движения и построим графики:
Оба автомобиля движутся в отрицательном направлении оси OX. Второй автомобиль, который в начальный момент находится впереди ($x_2(0)=200$ м), имеет большую по модулю скорость, чем первый ($|v_{2x}| > |v_{1x}|$). Поэтому второй автомобиль "догоняет" первый (расстояние между ними сокращается), и они встречаются. Точка встречи будет иметь отрицательную координату: $x_1(t) = x_2(t)$.
$-2,00t = 200 - 7,00t \Rightarrow 5,00t = 200 \Rightarrow t = 40,0$ с.
Координата встречи: $x_{встр} = -2,00 \cdot 40,0 = -80,0$ м.
Графики движения — прямые линии.

• График $x_1(t)$ проходит через точки (0 с; 0 м) и (40,0 с; -80,0 м).
• График $x_2(t)$ проходит через точки (0 с; 200 м) и (40,0 с; -80,0 м).

Ответ: Уравнения движения: $x_1(t) = -2,00t$, $x_2(t) = 200 - 7,00t$. Характер движения: автомобили движутся в одном направлении (против оси OX), второй автомобиль догоняет первый. Они встречаются в момент времени $t=40,0$ с в точке с координатой $x=-80,0$ м.