Номер 39, страница 16 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

График зависимости проекции скорости от времени $v_x(t)$.

Начальная координата $x_0 = 0$ м.

Промежуток времени $\Delta t_1 = 2,0$ с.

Промежуток времени $\Delta t_2 = 6,0$ с.

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

График зависимости пути от времени $s(t)$.

График зависимости координаты от времени $x(t)$.

Среднюю путевую скорость $\langle v_1 \rangle$ за $\Delta t_1$.

Среднюю путевую скорость $\langle v_2 \rangle$ за $\Delta t_2$.

Решение:

Построение графиков зависимостей пути s и координаты x от времени

Для построения графиков проанализируем движение тела на трех участках, исходя из графика $v_x(t)$. Перемещение на каждом участке равно площади под графиком $v_x(t)$, а пройденный путь — сумме абсолютных значений площадей.

Участок 1: $t \in [0; 2,0 \text{ с}]$

Движение равноускоренное. Начальная скорость $v_{x0} = 3,0$ м/с. Ускорение $a_{x1} = \frac{-1,0 - 3,0}{2,0} = -2,0 \text{ м/с}^2$.

Уравнение координаты: $x(t) = v_{x0}t + \frac{a_{x1}t^2}{2} = 3t - t^2$. Это парабола с ветвями вниз.

Скорость становится равной нулю в момент времени $t$, когда $v_x(t) = 3 - 2t = 0$, то есть при $t = 1,5$ с. В этот момент тело меняет направление движения.

Найдем ключевые точки для графика $x(t)$:

$x(0) = 0$ м.

$x(1,5) = 3 \cdot 1,5 - 1,5^2 = 4,5 - 2,25 = 2,25$ м (точка поворота).

$x(2,0) = 3 \cdot 2,0 - 2,0^2 = 6,0 - 4,0 = 2,0$ м.

Пройденный путь за первые 2,0 с: $s(2,0) = |x(1,5) - x(0)| + |x(2,0) - x(1,5)| = |2,25 - 0| + |2,0 - 2,25| = 2,25 + 0,25 = 2,5$ м.

Участок 2: $t \in [2,0 \text{ с}; 4,0 \text{ с}]$

Движение равномерное со скоростью $v_{x2} = -1,0$ м/с.

Уравнение координаты: $x(t) = x(2,0) + v_{x2}(t - 2,0) = 2,0 - 1,0(t-2,0) = 4,0 - t$. Это прямая линия.

Координата в конце участка: $x(4,0) = 4,0 - 4,0 = 0$ м.

Пройденный путь на этом участке: $s_2 = |v_{x2}| \cdot (4,0 - 2,0) = 1,0 \cdot 2,0 = 2,0$ м.

Общий путь к моменту $t=4,0$ с: $s(4,0) = s(2,0) + s_2 = 2,5 + 2,0 = 4,5$ м.

Участок 3: $t \in [4,0 \text{ с}; 6,0 \text{ с}]$

Движение равноускоренное. Начальная скорость на участке $v_x(4,0) = -1,0$ м/с. Ускорение $a_{x3} = \frac{0 - (-1,0)}{6,0 - 4,0} = 0,5 \text{ м/с}^2$.

Уравнение координаты: $x(t) = x(4,0) + v_x(4,0)(t-4,0) + \frac{a_{x3}(t-4,0)^2}{2} = 0 - 1,0(t-4,0) + 0,25(t-4,0)^2$. Это парабола с ветвями вверх.

Координата в конце участка: $x(6,0) = -1,0(6,0-4,0) + 0,25(6,0-4,0)^2 = -2,0 + 1,0 = -1,0$ м.

Пройденный путь на этом участке: $s_3 = |x(6,0) - x(4,0)| = |-1,0 - 0| = 1,0$ м.

Общий путь к моменту $t=6,0$ с: $s(6,0) = s(4,0) + s_3 = 4,5 + 1,0 = 5,5$ м.

Описание графиков:

График $x(t)$:

1. На участке $[0; 2,0 \text{ с}]$ – дуга параболы с ветвями вниз, идущая из точки $(0; 0)$ через вершину $(1,5; 2,25)$ в точку $(2,0; 2,0)$.

2. На участке $[2,0 \text{ с}; 4,0 \text{ с}]$ – отрезок прямой, соединяющий точки $(2,0; 2,0)$ и $(4,0; 0)$.

3. На участке $[4,0 \text{ с}; 6,0 \text{ с}]$ – дуга параболы с ветвями вверх, идущая из точки $(4,0; 0)$ в точку $(6,0; -1,0)$.

График $s(t)$:

1. На участке $[0; 1,5 \text{ с}]$ график совпадает с графиком $x(t)$, идя из $(0; 0)$ в $(1,5; 2,25)$.

2. На участке $[1,5 \text{ с}; 2,0 \text{ с}]$ – дуга параболы, идущая из $(1,5; 2,25)$ в $(2,0; 2,5)$.

3. На участке $[2,0 \text{ с}; 4,0 \text{ с}]$ – отрезок прямой, соединяющий точки $(2,0; 2,5)$ и $(4,0; 4,5)$.

4. На участке $[4,0 \text{ с}; 6,0 \text{ с}]$ – дуга параболы, соединяющая точки $(4,0; 4,5)$ и $(6,0; 5,5)$.

График $s(t)$ является неубывающей функцией.

Ответ: Графики построены на основе вычисленных уравнений и ключевых точек, их описание представлено выше.

Определение средних путевых скоростей $\langle v_1 \rangle$ и $\langle v_2 \rangle$

Средняя путевая скорость вычисляется по формуле $\langle v \rangle = \frac{s_{общ}}{\Delta t}$.

1. Для промежутка времени $\Delta t_1 = 2,0$ с.

Общий путь, пройденный за это время, $s(2,0) = 2,5$ м.

$\langle v_1 \rangle = \frac{s(2,0)}{\Delta t_1} = \frac{2,5 \text{ м}}{2,0 \text{ с}} = 1,25 \text{ м/с}$.

2. Для промежутка времени $\Delta t_2 = 6,0$ с.

Общий путь, пройденный за это время, $s(6,0) = 5,5$ м.

$\langle v_2 \rangle = \frac{s(6,0)}{\Delta t_2} = \frac{5,5 \text{ м}}{6,0 \text{ с}} = \frac{11}{12} \text{ м/с} \approx 0,92 \text{ м/с}$.

Ответ: $\langle v_1 \rangle = 1,25$ м/с; $\langle v_2 \rangle \approx 0,92$ м/с.