Номер 41, страница 17 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$v_{01} = 5,0 \text{ м/с}$

$v_{02} = 5,0 \text{ м/с}$

$t_1 = 3,0 \text{ с}$

Графики зависимости координаты от времени $x(t)$ для двух материальных точек (рис. 8 а, б).

Найти:

Для каждой точки:

1. Начальную координату $x_0$.

2. Проекцию скорости $v_x$ в момент времени $t_1$.

3. Проекцию ускорения $a_x$.

4. Уравнение зависимости проекции скорости от времени $v_x(t)$.

5. Уравнение зависимости координаты от времени $x(t)$.

Решение:

Движение материальных точек является равнопеременным, поэтому оно описывается следующими уравнениями:

Уравнение координаты: $x(t) = x_0 + v_{0x}t + \frac{a_x t^2}{2}$

Уравнение проекции скорости: $v_x(t) = v_{0x} + a_x t$

Для точки 1 (график а)

Из графика определяем начальную координату (при $t=0$): $x_{01} = 2,0 \text{ м}$.

Согласно условию, модуль начальной скорости $v_{01} = 5,0 \text{ м/с}$. Так как в начальный момент времени координата точки увеличивается (касательная к графику направлена вверх), проекция начальной скорости на ось OX положительна: $v_{0x1} = +5,0 \text{ м/с}$.

График зависимости $x(t)$ является параболой, вершина которой соответствует моменту смены направления движения. В этой точке скорость тела мгновенно становится равной нулю. Из графика видно, что вершина находится в точке $t_1 = 3,0 \text{ с}$. Следовательно, проекция скорости в этот момент времени $v_{x1}(3,0 \text{ с}) = 0$.

Проекцию ускорения $a_{x1}$ найдем из уравнения для скорости. Подставив известные значения для момента времени $t_1 = 3,0 \text{ с}$, получим:

$v_{x1}(t_1) = v_{0x1} + a_{x1}t_1$

$0 = 5,0 + a_{x1} \cdot 3,0$

Отсюда $a_{x1} = - \frac{5,0}{3,0} \text{ м/с}^2 \approx -1,7 \text{ м/с}^2$. Ветви параболы направлены вниз, что подтверждает отрицательное значение проекции ускорения.

Теперь можем записать искомые уравнения движения. Уравнение зависимости проекции скорости от времени:

$v_{x1}(t) = 5,0 - \frac{5}{3}t$.

Уравнение зависимости координаты от времени:

$x_1(t) = 2,0 + 5,0t + \frac{(-5/3)}{2}t^2 = 2,0 + 5,0t - \frac{5}{6}t^2$.

Ответ: для точки 1 начальная координата $x_{01} = 2,0 \text{ м}$; проекция скорости в момент $t_1=3,0 \text{ с}$ равна $v_{x1} = 0$; проекция ускорения $a_{x1} = -\frac{5}{3} \text{ м/с}^2 \approx -1,7 \text{ м/с}^2$; уравнение скорости $v_{x1}(t) = 5,0 - \frac{5}{3}t$; уравнение координаты $x_1(t) = 2,0 + 5,0t - \frac{5}{6}t^2$.

Для точки 2 (график б)

Из графика определяем начальную координату (при $t=0$): $x_{02} = -4,0 \text{ м}$.

Согласно условию, модуль начальной скорости $v_{02} = 5,0 \text{ м/с}$. Так как в начальный момент времени координата точки уменьшается (касательная к графику направлена вниз), проекция начальной скорости на ось OX отрицательна: $v_{0x2} = -5,0 \text{ м/с}$.

Вершина параболы на графике находится в точке $t_1 = 3,0 \text{ с}$. В этот момент времени скорость тела равна нулю: $v_{x2}(3,0 \text{ с}) = 0$.

Проекцию ускорения $a_{x2}$ найдем из уравнения для скорости для момента времени $t_1 = 3,0 \text{ с}$:

$v_{x2}(t_1) = v_{0x2} + a_{x2}t_1$

$0 = -5,0 + a_{x2} \cdot 3,0$

Отсюда $a_{x2} = \frac{5,0}{3,0} \text{ м/с}^2 \approx 1,7 \text{ м/с}^2$. Ветви параболы направлены вверх, что подтверждает положительное значение проекции ускорения.

Запишем уравнения движения для второй точки. Уравнение зависимости проекции скорости от времени:

$v_{x2}(t) = -5,0 + \frac{5}{3}t$.

Уравнение зависимости координаты от времени:

$x_2(t) = -4,0 - 5,0t + \frac{5/3}{2}t^2 = -4,0 - 5,0t + \frac{5}{6}t^2$.

Ответ: для точки 2 начальная координата $x_{02} = -4,0 \text{ м}$; проекция скорости в момент $t_1=3,0 \text{ с}$ равна $v_{x2} = 0$; проекция ускорения $a_{x2} = \frac{5}{3} \text{ м/с}^2 \approx 1,7 \text{ м/с}^2$; уравнение скорости $v_{x2}(t) = -5,0 + \frac{5}{3}t$; уравнение координаты $x_2(t) = -4,0 - 5,0t + \frac{5}{6}t^2$.