Номер 35, страница 15 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$l = 300$ м

$v_2 = 90,0$ км/ч

$\Delta t = 27,5$ с

Перевод в систему СИ:

$v_2 = 90,0 \frac{км}{ч} = 90,0 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = 25,0$ м/с

Найти:

$v_1$

Решение:

Введем систему отсчета, связанную с неподвижной водой (берегом). Пусть ось ОХ направлена по движению теплохода. Тогда скорость теплохода относительно воды равна $v_1$, а скорость катера относительно воды равна $v_2$.

Рассмотрим движение катера относительно теплохода.

1. Когда катер движется от кормы к носу, он движется в том же направлении, что и теплоход. Его скорость относительно теплохода равна $v_{отн1} = v_2 - v_1$. Время, которое катер затрачивает, чтобы пройти расстояние, равное длине теплохода $l$, составляет:

$t_1 = \frac{l}{v_2 - v_1}$

2. Когда катер движется обратно, от носа к корме, он движется против направления движения теплохода. Его скорость относительно теплохода равна $v_{отн2} = v_2 + v_1$. Время, затраченное на обратный путь, составляет:

$t_2 = \frac{l}{v_2 + v_1}$

3. Общее время движения катера $\Delta t$ по условию задачи равно сумме времен $t_1$ и $t_2$:

$\Delta t = t_1 + t_2 = \frac{l}{v_2 - v_1} + \frac{l}{v_2 + v_1}$

Выполним алгебраические преобразования, чтобы выразить из этого уравнения искомую скорость $v_1$. Вынесем $l$ за скобки и приведем дроби к общему знаменателю:

$\Delta t = l \left( \frac{v_2 + v_1 + v_2 - v_1}{(v_2 - v_1)(v_2 + v_1)} \right) = l \frac{2v_2}{v_2^2 - v_1^2}$

Из этого соотношения выразим $v_2^2 - v_1^2$:

$v_2^2 - v_1^2 = \frac{2lv_2}{\Delta t}$

Теперь выразим $v_1^2$ и затем $v_1$:

$v_1^2 = v_2^2 - \frac{2lv_2}{\Delta t}$

$v_1 = \sqrt{v_2^2 - \frac{2lv_2}{\Delta t}}$

Подставим числовые значения величин в системе СИ:

$v_1 = \sqrt{(25,0 \text{ м/с})^2 - \frac{2 \cdot 300 \text{ м} \cdot 25,0 \text{ м/с}}{27,5 \text{ с}}} = \sqrt{625 \frac{м^2}{с^2} - \frac{15000 \frac{м^2}{с}}{27,5 \text{ с}}}$

$v_1 = \sqrt{625 \frac{м^2}{с^2} - 545,45... \frac{м^2}{с^2}} = \sqrt{79,545... \frac{м^2}{с^2}} \approx 8,92$ м/с.

Ответ: $v_1 \approx 8,92$ м/с.