Номер 30, страница 14 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$l = 15$ км

$\Delta t_1 = \frac{3}{4}$ ч

$l_1 = 9,0$ км

$l = 15 \text{ км} = 15 \cdot 10^3$ м
$\Delta t_1 = \frac{3}{4} \text{ ч} = 0,75 \text{ ч} = 2700$ с
$l_1 = 9,0 \text{ км} = 9,0 \cdot 10^3$ м

Найти:

$v_т$ - ?

$v_л$ - ?

Решение:

Введем обозначения: $v_л$ – скорость лодки относительно воды (собственная скорость), $v_т$ – скорость течения реки. Плот движется со скоростью течения $v_т$.

Когда лодка плывет по течению (вниз по реке), ее скорость относительно берега равна сумме скоростей: $v_{вниз} = v_л + v_т$.

Когда лодка плывет против течения (вверх по реке), ее скорость относительно берега равна разности скоростей: $v_{вверх} = v_л - v_т$.

1. Движение лодки до поселка (по течению).

Лодка прошла расстояние $l$ за время $\Delta t_1$.

$l = (v_л + v_т) \cdot \Delta t_1$

Отсюда можем найти сумму скоростей лодки и течения. Для удобства будем вести расчеты в км/ч.

$v_л + v_т = \frac{l}{\Delta t_1} = \frac{15 \text{ км}}{3/4 \text{ ч}} = 15 \cdot \frac{4}{3} = 20$ км/ч.

2. Движение лодки и плота до встречи.

Пусть $\Delta t_2$ - время движения лодки от поселка против течения до встречи с плотом. За это время лодка прошла расстояние $l_1$.

$l_1 = (v_л - v_т) \cdot \Delta t_2$

Встреча произошла в момент времени $t_{встр} = \Delta t_1 + \Delta t_2$ с момента старта от пристани. За это время плот проплыл от пристани расстояние $S_п$. Место встречи находится на расстоянии $l_1$ от поселка, значит, от пристани оно находится на расстоянии $l - l_1$.

$S_п = l - l_1 = 15 \text{ км} - 9 \text{ км} = 6$ км.

Движение плота описывается уравнением:

$S_п = v_т \cdot t_{встр}$

$l - l_1 = v_т \cdot (\Delta t_1 + \Delta t_2)$

3. Составим и решим систему уравнений:

(1) $v_л + v_т = 20$
(2) $9 = (v_л - v_т) \cdot \Delta t_2$
(3) $6 = v_т \cdot (0,75 + \Delta t_2)$

Из уравнения (1) выразим $v_л = 20 - v_т$. Подставим это выражение в уравнение (2):

$9 = ( (20 - v_т) - v_т) \cdot \Delta t_2 \implies 9 = (20 - 2v_т) \cdot \Delta t_2$.

Отсюда выразим $\Delta t_2$: $\Delta t_2 = \frac{9}{20 - 2v_т}$.

Теперь подставим это выражение для $\Delta t_2$ в уравнение (3):

$6 = v_т \cdot (0,75 + \frac{9}{20 - 2v_т})$

Заменим $0,75$ на $\frac{3}{4}$ для удобства:

$6 = v_т \cdot (\frac{3}{4} + \frac{9}{2(10 - v_т)})$

Приведем к общему знаменателю выражение в скобках:

$6 = v_т \cdot \frac{3 \cdot 2(10 - v_т) + 9 \cdot 4}{4 \cdot 2(10 - v_т)} = v_т \cdot \frac{60 - 6v_т + 36}{8(10 - v_т)} = v_т \cdot \frac{96 - 6v_т}{8(10 - v_т)}$

Умножим обе части на знаменатель:

$6 \cdot 8(10 - v_т) = v_т(96 - 6v_т)$

$48(10 - v_т) = 96v_т - 6v_т^2$

$480 - 48v_т = 96v_т - 6v_т^2$

Перенесем все в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$6v_т^2 - 48v_т - 96v_т + 480 = 0$

$6v_т^2 - 144v_т + 480 = 0$

Разделим все уравнение на 6 для упрощения:

$v_т^2 - 24v_т + 80 = 0$

Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-24)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 80 = 576 - 320 = 256$.

$\sqrt{D} = \sqrt{256} = 16$.

Корни уравнения:

$v_{т1} = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{24 + 16}{2} = \frac{40}{2} = 20$ км/ч.

$v_{т2} = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{24 - 16}{2} = \frac{8}{2} = 4$ км/ч.

Рассмотрим оба решения. Вспомним, что $v_л + v_т = 20$ км/ч.

Если $v_т = 20$ км/ч, то $v_л = 20 - 20 = 0$ км/ч. Это означает, что собственная скорость лодки равна нулю, что противоречит условию (моторная лодка). Также при такой скорости лодка не смогла бы двигаться против течения.

Если $v_т = 4$ км/ч, то $v_л = 20 - 4 = 16$ км/ч. Это решение физически возможно, так как собственная скорость лодки больше скорости течения ($v_л > v_т$), и она может плыть против течения.

Таким образом, выбираем второй корень.

Ответ:

Скорость течения реки $v_т = 4$ км/ч, скорость лодки относительно воды $v_л = 16$ км/ч.