Номер 23, страница 13 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$\Delta t_1 = 6,0 \text{ сут}$

$\Delta t_2 = 8,0 \text{ сут}$

Перевод в систему СИ для данной задачи не требуется, так как все временные промежутки даны в сутках и ответ также требуется найти в сутках.

Найти:

$\Delta t_3$

Решение:

Пусть $S$ — расстояние между двумя городами, $v_п$ — собственная скорость парохода (скорость относительно воды), а $v_т$ — скорость течения реки.

Когда пароход движется по течению, его скорость относительно берега равна сумме его собственной скорости и скорости течения: $v_1 = v_п + v_т$. Время в пути составляет $\Delta t_1$. Таким образом, расстояние можно выразить как:

$S = (v_п + v_т) \cdot \Delta t_1$ (1)

Когда пароход движется против течения, его скорость относительно берега равна разности его собственной скорости и скорости течения: $v_2 = v_п - v_т$. Время в пути составляет $\Delta t_2$. Расстояние выражается как:

$S = (v_п - v_т) \cdot \Delta t_2$ (2)

Плот не имеет собственного двигателя и движется со скоростью течения реки, то есть его скорость относительно берега равна $v_т$. Время $\Delta t_3$, за которое плот преодолеет расстояние $S$, определяется уравнением:

$S = v_т \cdot \Delta t_3$ (3)

Для того чтобы найти $\Delta t_3$, необходимо выразить скорость течения $v_т$ через известные величины. Для этого воспользуемся уравнениями (1) и (2).

Из уравнений (1) и (2) выразим скорости движения парохода:

$v_п + v_т = \frac{S}{\Delta t_1}$

$v_п - v_т = \frac{S}{\Delta t_2}$

Мы получили систему из двух линейных уравнений относительно $v_п$ и $v_т$. Чтобы найти $v_т$, вычтем второе уравнение из первого:

$(v_п + v_т) - (v_п - v_т) = \frac{S}{\Delta t_1} - \frac{S}{\Delta t_2}$

$2v_т = S \left( \frac{1}{\Delta t_1} - \frac{1}{\Delta t_2} \right)$

Приведем дроби в скобках к общему знаменателю:

$2v_т = S \left( \frac{\Delta t_2 - \Delta t_1}{\Delta t_1 \Delta t_2} \right)$

Отсюда выразим скорость течения $v_т$:

$v_т = \frac{S(\Delta t_2 - \Delta t_1)}{2 \Delta t_1 \Delta t_2}$

Теперь подставим полученное выражение для $v_т$ в уравнение (3) для плота:

$S = \frac{S(\Delta t_2 - \Delta t_1)}{2 \Delta t_1 \Delta t_2} \cdot \Delta t_3$

Поскольку расстояние $S$ не равно нулю, мы можем сократить его в обеих частях уравнения:

$1 = \frac{\Delta t_2 - \Delta t_1}{2 \Delta t_1 \Delta t_2} \cdot \Delta t_3$

Из этого уравнения выразим искомое время $\Delta t_3$:

$\Delta t_3 = \frac{2 \Delta t_1 \Delta t_2}{\Delta t_2 - \Delta t_1}$

Подставим числовые значения из условия задачи:

$\Delta t_3 = \frac{2 \cdot 6,0 \text{ сут} \cdot 8,0 \text{ сут}}{8,0 \text{ сут} - 6,0 \text{ сут}} = \frac{96,0 \text{ сут}^2}{2,0 \text{ сут}} = 48 \text{ сут}$

Ответ: 48 сут.