Номер 22, страница 13 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Ширина реки, $h = 100$ м

Расстояние вдоль течения, $l = 100$ м

Скорость пловца относительно воды, $v_1 = 50,0 \frac{м}{мин}$

Скорость течения реки, $v_2 = 30,0 \frac{м}{мин}$

Перевод в СИ:

$v_1 = 50,0 \frac{м}{мин} = \frac{50,0}{60} \frac{м}{с} \approx 0,833 \frac{м}{с}$

$v_2 = 30,0 \frac{м}{мин} = \frac{30,0}{60} \frac{м}{с} = 0,5 \frac{м}{с}$

Найти:

На что потребуется больше времени: проплыть по течению и обратно ($t_1$) или переплыть реку туда и обратно ($t_2$)?

Решение:

Для решения задачи рассчитаем время, затраченное на каждое из двух действий. Для удобства вычислений будем использовать скорости в м/мин, так как требуется только сравнить время.

Проплыть по течению расстояние l = 100 м и вернуться обратно

При движении по течению скорость пловца относительно берега равна сумме его скорости относительно воды и скорости течения:

$v_{по} = v_1 + v_2 = 50,0 + 30,0 = 80,0 \frac{м}{мин}$

Время движения по течению:

$t_{по} = \frac{l}{v_{по}} = \frac{100 \ м}{80,0 \ м/мин} = 1,25 \ мин$

При движении против течения скорость пловца относительно берега равна разности его скорости относительно воды и скорости течения:

$v_{против} = v_1 - v_2 = 50,0 - 30,0 = 20,0 \frac{м}{мин}$

Время движения против течения:

$t_{против} = \frac{l}{v_{против}} = \frac{100 \ м}{20,0 \ м/мин} = 5,0 \ мин$

Общее время движения вдоль реки $t_1$:

$t_1 = t_{по} + t_{против} = 1,25 \ мин + 5,0 \ мин = 6,25 \ мин$

Переплыть реку туда и обратно перпендикулярно берегу

Чтобы плыть перпендикулярно берегу, пловец должен направить свою скорость $v_1$ под некоторым углом против течения. Его результирующая скорость относительно берега $v_{\perp}$ будет направлена перпендикулярно берегу. Векторы скоростей $v_1$ (скорость пловца относительно воды), $v_2$ (скорость течения) и $v_{\perp}$ образуют прямоугольный треугольник, где $v_1$ является гипотенузой. По теореме Пифагора:

$v_1^2 = v_{\perp}^2 + v_2^2$

Отсюда скорость пловца перпендикулярно берегу:

$v_{\perp} = \sqrt{v_1^2 - v_2^2} = \sqrt{(50,0)^2 - (30,0)^2} = \sqrt{2500 - 900} = \sqrt{1600} = 40,0 \frac{м}{мин}$

Время, чтобы переплыть реку в одну сторону, равно $t_{один \ путь} = \frac{h}{v_{\perp}}$. Так как нужно переплыть реку туда и обратно, общее время $t_2$ будет:

$t_2 = \frac{2h}{v_{\perp}} = \frac{2 \cdot 100 \ м}{40,0 \ м/мин} = \frac{200}{40} \ мин = 5,0 \ мин$

Сравнение времени

Сравним полученные значения времени:

$t_1 = 6,25 \ мин$

$t_2 = 5,0 \ мин$

Так как $6,25 > 5,0$, то $t_1 > t_2$.

Ответ:

Больше времени потребуется на то, чтобы проплыть по течению расстояние 100 м и вернуться обратно.